№3263

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=sin^{2}3x\)

Ответ

\(f^{'}(x)=3sin6x\)

Решение № 3263:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin^2(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = \sin(3x) \), тогда \( f(x) = u^2 \). </li> <li> Найти производную \( u \): </li> \[ u = \sin(3x) \implies u' = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = 3 \cos(3x) \] <li> Найти производную \( f(x) \) по правилу цепочки: </li> \[ f(x) = u^2 \implies f'(x) = 2u \cdot u' \] <li> Подставить \( u \) и \( u' \) в выражение для \( f'(x) \): </li> \[ f'(x) = 2 \sin(3x) \cdot 3 \cos(3x) \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = 6 \sin(3x) \cos(3x) \] <li> Использовать тригонометрическую идентификацию: </li> \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] <li> Заметим, что \( 6 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \cdot 2 \sin(3x) \cos(3x) = 3 \sin(6x) \): </li> \[ f'(x) = 3 \sin(6x) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \sin^2(3x) \) равна \( 3 \sin(6x) \).