№7138

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=tg3x\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{3}{cos^{2}3x}\)

Решение № 7138:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Запишем исходную функцию: </li> \[ f(x) = \tan(3x) \] <li> Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочки). Пусть \( u = 3x \), тогда \( f(x) = \tan(u) \). </li> <li> Найдем производную \( \tan(u) \) по \( u \): </li> \[ \frac{d}{du} (\tan(u)) = \sec^2(u) \] <li> Найдем производную \( u = 3x \) по \( x \): </li> \[ \frac{du}{dx} = 3 \] <li> Применим правило дифференцирования сложной функции: </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\tan(3x)) = \frac{d}{du} (\tan(u)) \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(u) \cdot 3 \] <li> Подставим \( u = 3x \) обратно в выражение: </li> \[ f'(x) = 3 \sec^2(3x) \] <li> Запишем окончательный результат: </li> \[ f'(x) = 3 \sec^2(3x) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \tan(3x) \) равна \( 3 \sec^2(3x) \).