№3259

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=ctg(1-3x-x^{2})\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{3+2x}{sin^{2}(1-3x-x^{2})}\)

Решение № 3259:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Запишем функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \] <li> Вспомним, что производная котангенса \( \operatorname{ctg}(u) \) относительно \( u \) равна \( -\operatorname{csc}^2(u) \). </li> <li> Найдем производную внутренней функции \( u = 1 - 3x - x^2 \): </li> \[ u' = \frac{d}{dx}(1 - 3x - x^2) = -3 - 2x \] <li> Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочного правила): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(u) = -\operatorname{csc}^2(u) \cdot u' \] <li> Подставим \( u = 1 - 3x - x^2 \) и \( u' = -3 - 2x \): </li> \[ f'(x) = -\operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \cdot (-3 - 2x) \] <li> Упростим выражение: </li> \[ f'(x) = (3 + 2x) \cdot \operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(1 - 3x - x^2) \) равна: \[ f'(x) = (3 + 2x) \cdot \operatorname{csc}^2(1 - 3x - x^2) \]