№7114

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=sin\frac{1}{x}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{1}{x^{2}}cos\frac{1}{x}\)

Решение № 7114:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) \] <li> Применить правило цепочки: </li> \[ f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \] <li> Найти производную внутренней функции \( \frac{1}{x} \): </li> \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \] <li> Подставить производную внутренней функции в выражение для \( f'(x) \): </li> \[ f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) равна: \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]