№7151

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=x^{1/2}+sin^{3}(2x-1)\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+6sin^{2}(2x-1)cos(2x-1)\)

Решение № 7151:

Для нахождения производной функции \( f(x) = x^{1/2} + \sin^3(2x-1) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную каждого слагаемого функции \( f(x) \): </li> \[ f(x) = x^{1/2} + \sin^3(2x-1) \] <li> Найти производную первого слагаемого \( x^{1/2} \): </li> \[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \] <li> Найти производную второго слагаемого \( \sin^3(2x-1) \): </li> \[ \frac{d}{dx}(\sin^3(2x-1)) \] <li> Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочка): </li> \[ \frac{d}{dx}(\sin^3(2x-1)) = 3 \sin^2(2x-1) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(2x-1)) \] <li> Найти производную \( \sin(2x-1) \): </li> \[ \frac{d}{dx}(\sin(2x-1)) = \cos(2x-1) \cdot \frac{d}{dx}(2x-1) = \cos(2x-1) \cdot 2 \] <li> Подставить производную \( \sin(2x-1) \) в выражение для производной \( \sin^3(2x-1) \): </li> \[ \frac{d}{dx}(\sin^3(2x-1)) = 3 \sin^2(2x-1) \cdot \cos(2x-1) \cdot 2 = 6 \sin^2(2x-1) \cos(2x-1) \] <li> Сложить производные слагаемых: </li> \[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 6 \sin^2(2x-1) \cos(2x-1) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = x^{1/2} + \sin^3(2x-1) \): <br> \[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 6 \sin^2(2x-1) \cos(2x-1) \]