№3281

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=tg(x^{3}+x^{2})\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{3x^{2}+2x}{cos^{2}(x^{3}+x^{2})}\)

Решение № 3281:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan(x^3 + x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Напомним, что производная функции вида \( \tan(u) \) равна \( \sec^2(u) \cdot u' \), где \( u \) — внутренняя функция. </li> <li> Обозначим внутреннюю функцию \( u = x^3 + x^2 \). </li> <li> Найдем производную внутренней функции \( u \): </li> \[ u' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2) = 3x^2 + 2x \] <li> Теперь применим правило дифференцирования сложной функции: </li> \[ f'(x) = \sec^2(u) \cdot u' = \sec^2(x^3 + x^2) \cdot (3x^2 + 2x) \] <li> Подставим \( u = x^3 + x^2 \) в выражение: </li> \[ f'(x) = \sec^2(x^3 + x^2) \cdot (3x^2 + 2x) \] <li> Запишем окончательный результат: </li> \[ f'(x) = (3x^2 + 2x) \cdot \sec^2(x^3 + x^2) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \tan(x^3 + x^2) \) равна: \[ f'(x) = (3x^2 + 2x) \cdot \sec^2(x^3 + x^2) \]