№3258

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=sin\left ( x^{2}+\frac{7}{2}x+1 \right )\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\left ( 2x+\frac{7}{2} \right )cos\left ( x^{2}+\frac{7}{2}x+1 \right )\)

Решение № 3258:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определим функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \] </li> <li> Найти производную функции \( f(x) \). Для этого используем правило дифференцирования сложной функции (цепочки): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \right) \] <li> Применим правило цепочки. Пусть \( u = x^2 + \frac{7}{2}x + 1 \). Тогда: </li> \[ f(x) = \sin(u) \] \[ \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} \] </li> <li> Найдем производную \( u \) по \( x \): </li> \[ u = x^2 + \frac{7}{2}x + 1 \] \[ \frac{du}{dx} = 2x + \frac{7}{2} \] </li> <li> Теперь подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в выражение для производной: </li> \[ f'(x) = \cos\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \cdot (2x + \frac{7}{2}) \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \cos\left(x^2 + \frac{7}{2}x + 1\right) \cdot (2x + \frac{7}{2}) \]