№3270

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=3cos\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )+\frac{3x}{2}sin\left ( \frac{x}{2}-1 \right )\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{3x}{4}cos\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )\)

Решение № 3270:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную первого слагаемого \( 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \): </li> <li> Используем цепное правило дифференцирования: </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ 3 \cos \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right] = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \] \[ = 3 \cdot \left( -\sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) \] </li> <li> Найти производную второго слагаемого \( \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \): </li> <li> Используем правило произведения и цепное правило дифференцирования: </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{3x}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \right] = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] \[ = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{2} \cdot \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] </li> <li> Сложить производные двух слагаемых: </li> \[ f'(x) = -\frac{3}{2} \sin \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) + \frac{3}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] \[ = \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): <br> \[ f'(x) = \frac{3x}{4} \cos \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \]