№3267

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=ctg3x\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{3}{sin^{2}3x}\)

Решение № 3267:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Вспомним, что \( \operatorname{ctg}(3x) = \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} \). </li> <li> Применим правило дифференцирования частного: </li> \[ f'(x) = \left( \frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} \right)' = \frac{(\cos(3x))' \sin(3x) - \cos(3x) (\sin(3x))'}{\sin^2(3x)} \] <li> Найдем производные \( \cos(3x) \) и \( \sin(3x) \): </li> \[ (\cos(3x))' = -3 \sin(3x) \] \[ (\sin(3x))' = 3 \cos(3x) \] <li> Подставим найденные производные в формулу: </li> \[ f'(x) = \frac{(-3 \sin(3x)) \sin(3x) - \cos(3x) (3 \cos(3x))}{\sin^2(3x)} \] <li> Упростим выражение: </li> \[ f'(x) = \frac{-3 \sin^2(3x) - 3 \cos^2(3x)}{\sin^2(3x)} \] <li> Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2(3x) + \cos^2(3x) = 1 \): </li> \[ f'(x) = \frac{-3 (\sin^2(3x) + \cos^2(3x))}{\sin^2(3x)} = \frac{-3 \cdot 1}{\sin^2(3x)} = \frac{-3}{\sin^2(3x)} \] <li> Заменим \( \sin(3x) \) на \( \operatorname{tg}(3x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{-3}{\sin^2(3x)} = -3 \operatorname{cosec}^2(3x) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(3x) \) равна \( -3 \operatorname{cosec}^2(3x) \).