№7103

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=ctgx\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{1}{sin^{2}x}\)

Решение № 7103:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg} x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Выразить функцию \( \operatorname{ctg} x \) через синус и косинус: </li> \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] <li> Использовать правило дифференцирования частного для нахождения производной: </li> \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = \cos x \) и \( v = \sin x \). <li> Найти производные \( u \) и \( v \): </li> \[ u' = \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \] \[ v' = \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] <li> Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной частного: </li> \[ \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)' = \frac{(-\sin x) \sin x - (\cos x) \cos x}{\sin^2 x} \] <li> Упростить выражение: </li> \[ \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \] <li> Использовать тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): </li> \[ \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} \] <li> Записать окончательный результат: </li> \[ f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg} x \) равна \( -\frac{1}{\sin^2 x} \).