№7126

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=cos\frac{x}{2}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}\)

Решение № 7126:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Использовать правило дифференцирования композиции функций. Пусть \( u = \frac{x}{2} \), тогда \( f(x) = \cos(u) \). </li> <li> Найти производную внешней функции \( \cos(u) \): </li> \[ \frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u) \] <li> Найти производную внутренней функции \( u = \frac{x}{2} \): </li> \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \] <li> Применить правило дифференцирования композиции функций: </li> \[ \frac{d}{dx}(\cos(u)) = \frac{d}{du}(\cos(u)) \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(u) \cdot \frac{1}{2} \] <li> Подставить \( u = \frac{x}{2} \) обратно в выражение: </li> \[ \frac{d}{dx}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \) равна \( -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) \).