№7137

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производные тригонометрических функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=cos^{2}3x\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-3sin6x\)

Решение № 7137:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos^2(3x) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Выразить функцию \( f(x) \) через основные тригонометрические функции: </li> \[ f(x) = (\cos(3x))^2 \] <li> Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (\cos(3x))^2 \right] \] <li> Использовать правило дифференцирования возведения в степень: </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ u^2 \right] = 2u \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = \cos(3x) \). <li> Найти производную \( u = \cos(3x) \): </li> \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \cos(3x) \right] = -\sin(3x) \cdot \frac{d}{dx} (3x) = -3\sin(3x) \] <li> Подставить \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу: </li> \[ f'(x) = 2 \cos(3x) \cdot (-3 \sin(3x)) = -6 \cos(3x) \sin(3x) \] <li> Использовать тригонометрическое тождество для синуса удвоенного угла: </li> \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] где \( \theta = 3x \). <li> Подставить тождество в полученное выражение: </li> \[ f'(x) = -6 \cos(3x) \sin(3x) = -3 \sin(6x) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \cos^2(3x) \): <br> \[ f'(x) = -3 \sin(6x) \]