Решение №3213: Для нахождения производной функции \( f(x) = (2x+1)^2(x-1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = (2x+1)^2(x-1) \]
2. Применить правило производной произведения функций. Если \( u(x) = (2x+1)^2 \) и \( v(x) = (x-1) \), то производная \( f(x) \) будет:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u(x) = (2x+1)^2 \implies u'(x) = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1) \] \[ v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1 \]
4. Подставить найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = 4(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2 \cdot 1 \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 4(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2 \] \[ = 4(2x^2 + x - 2x - 1) + (4x^2 + 4x + 1) \] \[ = 4(2x^2 - x - 1) + 4x^2 + 4x + 1 \] \[ = 8x^2 - 4x - 4 + 4x^2 + 4x + 1 \] \[ = 12x^2 + 1 \]
6. Итак, производная функции \( f(x) \) равна:
\[ f'(x) = 12x^2 + 1 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3(4x^{2}-1)\)

Решение №3219: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x+5}{x-1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило производной частного для функции вида \( \frac{u(x)}{v(x)} \):
\[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]
2. Определить \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u(x) = x + 5, \quad v(x) = x - 1 \]
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( v(x) \), \( u'(x) \) и \( v'(x) \) в формулу производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(x + 5)'(x - 1) - (x + 5)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + 5) \cdot 1}{(x - 1)^2} \]
5. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 5}{(x - 1)^2} = \frac{-6}{(x - 1)^2} \]
6. Итоговая производная функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = -\frac{6}{(x - 1)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{6}{(x-1)^{2}}\)

Решение №3220: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{3x - 7}{2x + 9} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило дифференцирования частного двух функций. Если \( u(x) \) и \( v(x) \) — дифференцируемые функции, то: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
2. Определить \( u(x) \) и \( v(x) \): \[ u(x) = 3x - 7, \quad v(x) = 2x + 9 \]
3. Найти производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 3, \quad v'(x) = 2 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для производной частного: \[ f'(x) = \frac{(3)(2x + 9) - (3x - 7)(2)}{(2x + 9)^2} \]
5. Выполнить вычисления в числителе: \[ f'(x) = \frac{6x + 27 - (6x - 14)}{(2x + 9)^2} \]
6. Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{6x + 27 - 6x + 14}{(2x + 9)^2} = \frac{41}{(2x + 9)^2} \]
7. Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(x) = \frac{41}{(2x + 9)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{41}{(2x+9)^{2}}\)

Решение №3222: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \frac{x^2}{x+1} \]
2. Применить правило дифференцирования частного: если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] где \( u(x) = x^2 \) и \( v(x) = x + 1 \).
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \): \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} \]
5. Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
6. Записать окончательный результат: \[ f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}\)

Решение №7081: Для нахождения производной функции \( f(x) = (x+2)^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Распишем функцию \( f(x) \) в развернутом виде:
\[ f(x) = (x+2)^2 = (x+2)(x+2) = x^2 + 4x + 4 \]
2. Найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 4) \]
3. Применим правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(4) \]
4. Вычислим производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ \frac{d}{dx}(4x) = 4 \] \[ \frac{d}{dx}(4) = 0 \]
5. Сложим результаты:
\[ f'(x) = 2x + 4 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2(x+2)\)

Решение №7083: Для нахождения производной функции \( f(x) = 3\left(\frac{1}{2}x + 1\right)^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем функцию в удобной для дифференцирования форме:
\[ f(x) = 3\left(\frac{1}{2}x + 1\right)^2 \]
2. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = 3 \cdot 2 \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + 1\right) \]
3. Найдем производную внутренней функции \( \frac{1}{2}x + 1 \):
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + 1\right) = \frac{1}{2} \]
4. Подставим производную внутренней функции в выражение для производной \( f(x) \):
\[ f'(x) = 3 \cdot 2 \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \cdot \frac{1}{2} \]
5. Упростим выражение:
\[ f'(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \]
6. Запишем окончательный результат:
\[ f'(x) = 3 \left(\frac{1}{2}x + 1\right) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3\left (\frac{1}{2}x+1 \right )\)

Решение №7084: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{2}(2x + 3)^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать исходную функцию:
\[ f(x) = \frac{1}{2}(2x + 3)^3 \]
2. Применить правило дифференцирования составной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}(2x + 3)^3 \right) \]
3. Найти производную внешней функции:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}(2x + 3)^3 \right) = \frac{1}{2} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3) \]
4. Найти производную внутренней функции:
\[ \frac{d}{dx}(2x + 3) = 2 \]
5. Подставить производную внутренней функции в выражение:
\[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot 2 \]
6. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot (2x + 3)^2 = 3(2x + 3)^2 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3(2x+3)^{2}\)

Решение №7087: Для нахождения производной функции \( f(x) = (x+1)(3x+2)^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = (x+1)(3x+2)^2 \).
2. Применим правило производной произведения и цепочки:
\[ f'(x) = \left( (x+1)(3x+2)^2 \right)' \]
3. Применим правило произведения:
\[ f'(x) = (x+1)'\cdot(3x+2)^2 + (x+1)\cdot\left((3x+2)^2\right)' \]
4. Найдем производные каждого из множителей:
\[ (x+1)' = 1 \] \[ \left((3x+2)^2\right)' = 2(3x+2)\cdot(3x+2)' \]
5. Найдем производную внутренней функции \( (3x+2) \):
\[ (3x+2)' = 3 \]
6. Подставим производные обратно:
\[ f'(x) = 1\cdot(3x+2)^2 + (x+1)\cdot2(3x+2)\cdot3 \]
7. Упростим выражение:
\[ f'(x) = (3x+2)^2 + 2(x+1)\cdot3(3x+2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(x+1)(3x+2) \]
8. Раскроем скобки и упростим:
\[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(x+1)(3x+2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(x+1)(3x+2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(3x^2 + 5x + 2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 18x^2 + 30x + 12 \] \[ f'(x) = 9x^2 + 12x + 4 + 18x^2 + 30x + 12 \] \[ f'(x) = 27x^2 + 42x + 16 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=27x^{2}+42x+16\)

Решение №7090: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2x}{1-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \]
2. Использовать правило производной частного: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 2x \) и \( v = 1 - x^2 \).
3. Найти производные \( u \) и \( v \): \[ u' = \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ v' = \frac{d}{dx}(1 - x^2) = -2x \]
4. Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу производной частного: \[ f'(x) = \frac{(2)(1 - x^2) - (2x)(-2x)}{(1 - x^2)^2} \]
5. Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \]
6. Завершить упрощение: \[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}\)

Решение №7094: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2x - 1}{3 - x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \frac{2x - 1}{3 - x} \]
2. Использовать правило дифференцирования частного:
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 2x - 1 \) и \( v = 3 - x \).
3. Найти производные \( u \) и \( v \):
\[ u' = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \] \[ v' = \frac{d}{dx}(3 - x) = -1 \]
4. Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(2)(3 - x) - (2x - 1)(-1)}{(3 - x)^2} \]
5. Выполнить умножение в числителе:
\[ f'(x) = \frac{6 - 2x + 2x - 1}{(3 - x)^2} \]
6. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{6 - 1}{(3 - x)^2} = \frac{5}{(3 - x)^2} \]
7. Записать окончательный результат:
\[ f'(x) = \frac{5}{(3 - x)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{5}{(3-x)^{2}}\)

Решение №7096: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x-1}{7x+3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило дифференцирования частного:
\[ f'(x) = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = x - 1 \) и \( v = 7x + 3 \).
2. Найти производные числителя и знаменателя:
\[ u' = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 \] \[ v' = \frac{d}{dx}(7x + 3) = 7 \]
3. Подставить найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(1)(7x + 3) - (x - 1)(7)}{(7x + 3)^2} \]
4. Упростить выражение в числителе:
\[ f'(x) = \frac{7x + 3 - 7x + 7}{(7x + 3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{10}{(7x + 3)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{10}{(7x+3)^{2}}\)

Решение №7099: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \) с использованием правила дифференцирования частного:
\[ f'(x) = \left( \frac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2} \right)' \]
2. Применить правило дифференцирования частного:
\[ f'(x) = \frac{(1 + x - x^2)'(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(1 - x + x^2)'}{(1 - x + x^2)^2} \]
3. Найти производные числителя и знаменателя:
\[ (1 + x - x^2)' = 1 - 2x \] \[ (1 - x + x^2)' = -1 + 2x \]
4. Подставить производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(-1 + 2x)}{(1 - x + x^2)^2} \]
5. Раскрыть скобки и упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) + (1 + x - x^2)(1 - 2x)}{(1 - x + x^2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(1 - 2x - x + 2x^2 + x^2 - 2x^3) + (1 - 2x + x - 2x^2 - x^2 + 2x^3)}{(1 - x + x^2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(1 - 3x + 3x^2 - 2x^3) + (1 - x - 2x^2 + 2x^3)}{(1 - x + x^2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2 - 4x + x^2}{(1 - x + x^2)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2-4x}{(1-x+x^{2})^{2}}\)

Решение №13381: Для нахождения производной функции \( f(x) = (2x + 1)^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = (2x + 1)^2 \]
2. Применить правило дифференцирования для сложной функции. Пусть \( u = 2x + 1 \), тогда \( f(x) = u^2 \).
3. Найти производную \( u \) по \( x \):
\[ \frac{du}{dx} = 2 \]
4. Найти производную \( f(x) \) по \( u \):
\[ \frac{d}{du}(u^2) = 2u \]
5. Подставить \( u = 2x + 1 \) в производную:
\[ \frac{d}{dx}(u^2) = 2u \cdot \frac{du}{dx} = 2(2x + 1) \cdot 2 \]
6. Упростить выражение:
\[ f'(x) = 2 \cdot 2(2x + 1) = 4(2x + 1) = 8x + 4 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=4(2x+1)\)

Решение №13384: Для нахождения производной функции \( f(x) = (x-a)(x-b) \), где \( a \) и \( b \) — вещественные числа, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать функцию \( f(x) \) в развернутом виде:
\[ f(x) = (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - (a+b)x + ab) \]
3. Применить правила дифференцирования к каждому члену функции:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}((a+b)x) + \frac{d}{dx}(ab) \]
4. Найти производные каждого члена:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ \frac{d}{dx}((a+b)x) = a+b \] \[ \frac{d}{dx}(ab) = 0 \]
5. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 2x - (a+b) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x-(a+b)\)

Решение №13387: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2x}{1+x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию в виде частного:
\[ f(x) = \frac{2x}{1+x} \]
2. Использовать правило дифференцирования частного для нахождения производной:
\[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] где \( u(x) = 2x \) и \( v(x) = 1 + x \).
3. Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(1 + x) = 1 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(2)(1+x) - (2x)(1)}{(1+x)^2} \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{2(1+x) - 2x}{(1+x)^2} = \frac{2 + 2x - 2x}{(1+x)^2} = \frac{2}{(1+x)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2}{(1+x)^{2}}\)

Решение №13388: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1+x}{2x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило дифференцирования частного: если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]
2. Определить \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u(x) = 1 + x, \quad v(x) = 2x \]
3. Найти производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):
\[ u'(x) = 1, \quad v'(x) = 2 \]
4. Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(1) \cdot (2x) - (1 + x) \cdot (2)}{(2x)^2} \]
5. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{2x - 2(1 + x)}{4x^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{4x^2} = \frac{-2}{4x^2} \]
6. Упростить дробь:
\[ f'(x) = -\frac{1}{2x^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{1}{2x^{2}}\)

Решение №13390: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования частного:
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 3x + 1 \) и \( v = x + 2 \).
2. Найти производные \( u \) и \( v \):
\[ u' = (3x + 1)' = 3 \] \[ v' = (x + 2)' = 1 \]
3. Подставить \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу:
\[ f'(x) = \left( \frac{3x + 1}{x + 2} \right)' = \frac{(3)(x + 2) - (3x + 1)(1)}{(x + 2)^2} \]
4. Выполнить умножение и вычитание в числителе:
\[ f'(x) = \frac{3(x + 2) - (3x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 1}{(x + 2)^2} \]
5. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{3x + 6 - 3x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{-7}{(x-2)^{2}}\)

Решение №13396: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2x + 3}{3 - x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \left( \frac{2x + 3}{3 - x} \right)' = \frac{(2x + 3)'(3 - x) - (2x + 3)(3 - x)'}{(3 - x)^2} \]
2. Найти производные числителя и знаменателя: \[ (2x + 3)' = 2 \] \[ (3 - x)' = -1 \]
3. Подставить найденные производные в формулу: \[ f'(x) = \frac{2(3 - x) - (2x + 3)(-1)}{(3 - x)^2} \]
4. Раскрыть скобки и упростить выражение: \[ f'(x) = \frac{2(3 - x) + (2x + 3)}{(3 - x)^2} \] \[ f'(x) = \frac{6 - 2x + 2x + 3}{(3 - x)^2} \] \[ f'(x) = \frac{9}{(3 - x)^2} \]
5. Итоговая производная функции: \[ f'(x) = \frac{9}{(3 - x)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{9}{(3-x)^{2}}\)

Решение №13397: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1-x}{x^2+3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Обозначим числитель и знаменатель функции: \[ u = 1 - x, \quad v = x^2 + 3 \]
2. Найдем производные числителя и знаменателя: \[ u' = -1, \quad v' = 2x \]
3. Используем правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
4. Подставим найденные производные и значения \( u \) и \( v \): \[ f'(x) = \frac{(-1)(x^2 + 3) - (1 - x)(2x)}{(x^2 + 3)^2} \]
5. Упростим выражение: \[ f'(x) = \frac{-x^2 - 3 - 2x + 2x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 3)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{(x^{2}+3)^{2}}\)