№7099

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{1+x-x^{2}}{1-x+x^{2}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{2-4x}{(1-x+x^{2})^{2}}\)

Решение № 7099:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \) с использованием правила дифференцирования частного: </li> \[ f'(x) = \left( \frac{1 + x - x^2}{1 - x + x^2} \right)' \] <li> Применить правило дифференцирования частного: </li> \[ f'(x) = \frac{(1 + x - x^2)'(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(1 - x + x^2)'}{(1 - x + x^2)^2} \] <li> Найти производные числителя и знаменателя: </li> \[ (1 + x - x^2)' = 1 - 2x \] \[ (1 - x + x^2)' = -1 + 2x \] <li> Подставить производные в формулу: </li> \[ f'(x) = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) - (1 + x - x^2)(-1 + 2x)}{(1 - x + x^2)^2} \] <li> Раскрыть скобки и упростить выражение: </li> \[ f'(x) = \frac{(1 - 2x)(1 - x + x^2) + (1 + x - x^2)(1 - 2x)}{(1 - x + x^2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(1 - 2x - x + 2x^2 + x^2 - 2x^3) + (1 - 2x + x - 2x^2 - x^2 + 2x^3)}{(1 - x + x^2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(1 - 3x + 3x^2 - 2x^3) + (1 - x - 2x^2 + 2x^3)}{(1 - x + x^2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2 - 4x + x^2}{(1 - x + x^2)^2} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{2 - 4x + x^2}{(1 - x + x^2)^2} \]