№7090
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге:
Условие
Найти производные\(f(x)=\frac{2x}{1-x^{2}}\)
Ответ
\(f^{'}(x)=\frac{2(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}\)
Решение № 7090:
Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2x}{1-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \] <li> Использовать правило производной частного: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 2x \) и \( v = 1 - x^2 \). </li> <li> Найти производные \( u \) и \( v \): \[ u' = \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ v' = \frac{d}{dx}(1 - x^2) = -2x \] </li> <li> Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу производной частного: \[ f'(x) = \frac{(2)(1 - x^2) - (2x)(-2x)}{(1 - x^2)^2} \] </li> <li> Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \] </li> <li> Завершить упрощение: \[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \frac{2x}{1-x^2} \) равна: \[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \]