№13392

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{3x+1}{x+2}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{-7}{(x-2)^{2}}\)

Решение № 13390:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Использовать правило дифференцирования частного: </li> \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 3x + 1 \) и \( v = x + 2 \). </li> <li> Найти производные \( u \) и \( v \): </li> \[ u' = (3x + 1)' = 3 \] \[ v' = (x + 2)' = 1 \] </li> <li> Подставить \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу: </li> \[ f'(x) = \left( \frac{3x + 1}{x + 2} \right)' = \frac{(3)(x + 2) - (3x + 1)(1)}{(x + 2)^2} \] </li> <li> Выполнить умножение и вычитание в числителе: </li> \[ f'(x) = \frac{3(x + 2) - (3x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x - 1}{(x + 2)^2} \] </li> <li> Упростить числитель: </li> \[ f'(x) = \frac{3x + 6 - 3x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \frac{3x + 1}{x + 2} \) равна: <br> \[ f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^2} \]