№13389

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{2x}{1+x}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{2}{(1+x)^{2}}\)

Решение № 13387:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2x}{1+x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию в виде частного: </li> \[ f(x) = \frac{2x}{1+x} \] <li> Использовать правило дифференцирования частного для нахождения производной: </li> \[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] где \( u(x) = 2x \) и \( v(x) = 1 + x \). <li> Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \): </li> \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(1 + x) = 1 \] <li> Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для производной частного: </li> \[ f'(x) = \frac{(2)(1+x) - (2x)(1)}{(1+x)^2} \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = \frac{2(1+x) - 2x}{(1+x)^2} = \frac{2 + 2x - 2x}{(1+x)^2} = \frac{2}{(1+x)^2} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \frac{2x}{1+x} \) равна: \[ f'(x) = \frac{2}{(1+x)^2} \]