№7087

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=(x+1)(3x+2)^{2}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=27x^{2}+42x+16\)

Решение № 7087:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (x+1)(3x+2)^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Рассмотрим функцию \( f(x) = (x+1)(3x+2)^2 \). </li> <li> Применим правило производной произведения и цепочки: </li> \[ f'(x) = \left( (x+1)(3x+2)^2 \right)' \] <li> Применим правило произведения: </li> \[ f'(x) = (x+1)'\cdot(3x+2)^2 + (x+1)\cdot\left((3x+2)^2\right)' \] <li> Найдем производные каждого из множителей: </li> \[ (x+1)' = 1 \] \[ \left((3x+2)^2\right)' = 2(3x+2)\cdot(3x+2)' \] <li> Найдем производную внутренней функции \( (3x+2) \): </li> \[ (3x+2)' = 3 \] <li> Подставим производные обратно: </li> \[ f'(x) = 1\cdot(3x+2)^2 + (x+1)\cdot2(3x+2)\cdot3 \] <li> Упростим выражение: </li> \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 2(x+1)\cdot3(3x+2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(x+1)(3x+2) \] <li> Раскроем скобки и упростим: </li> \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(x+1)(3x+2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(x+1)(3x+2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 6(3x^2 + 5x + 2) \] \[ f'(x) = (3x+2)^2 + 18x^2 + 30x + 12 \] \[ f'(x) = 9x^2 + 12x + 4 + 18x^2 + 30x + 12 \] \[ f'(x) = 27x^2 + 42x + 16 \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = (x+1)(3x+2)^2 \) равна \( f'(x) = 27x^2 + 42x + 16 \).