№3222

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная произведения и частного функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}\)

Решение № 3222:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \frac{x^2}{x+1} \] <li> Применить правило дифференцирования частного: если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] где \( u(x) = x^2 \) и \( v(x) = x + 1 \). </li> <li> Найти производные \( u(x) \) и \( v(x) \): \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1 \] <li> Подставить \( u(x) \), \( u'(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \) в формулу для дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} \] <li> Упростить числитель: \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \] <li> Записать окончательный результат: \[ f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \) равна: \[ f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]