Решение №3100:

1. Найти производную функции \( f(x) = e^{\cos x} \sin x \):
Для нахождения производной используем правило произведения: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) \sin x + e^{\cos x} \frac{d}{dx} (\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) = e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] Таким образом, \[ f'(x) = e^{\cos x} (-\sin x) \sin x + e^{\cos x} \cos x = e^{\cos x} (\cos x - \sin^2 x) \]
2. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \):
\[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{\cos \left( \frac{3\pi}{2} \right)} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right) \] Найдем значения тригонометрических функций в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \): \[ \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0 \] \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1 \] Подставим эти значения в выражение для производной: \[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{0} \left( 0 - (-1)^2 \right) = 1 \left( 0 - 1 \right) = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3108: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - 2x \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения функции с осями координат.
2. Найти точки пересечения с осью \( OX \):
\[ f(x) = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \]
3. Найти точку пересечения с осью \( OY \):
\[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 \]
4. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \]
5. Вычислить производную в найденных точках пересечения:
6. В точке \( x = 0 \):
\[ f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \]
7. В точке \( x = 2 \):
\[ f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \]

Ответ: f^{'}(0)=-2, f^{'}(2)=2

Решение №3109: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 \) в точках пересечения с графиком \( y = 6x - 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков \( f(x) = x^2 \) и \( y = 6x - 9 \).
2. Решить уравнение \( x^2 = 6x - 9 \):
\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]
3. Решить квадратное уравнение:
\[ (x - 3)^2 = 0 \]
4. Получить решение:
\[ x = 3 \]
5. Найти значение функции \( f(x) \) в точке \( x = 3 \):
\[ f(3) = 3^2 = 9 \]
6. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
7. Вычислить значение производной в точке \( x = 3 \):
\[ f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \]

Ответ: f^{'}(3)=-6

Решение №3110: Для нахождения значений производной функции \( f(x) = \frac{x-1}{x^2+1} \) в заданных точках \( x_0 = 0 \) и \( x_0 = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x^2+1} \right) \]
2. Применить правило производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) - (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \]
3. Найти производные числителя и знаменателя:
\[ \frac{d}{dx}(x-1) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \]
4. Подставить найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2} \]
6. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 0 \):
\[ f'(0) = \frac{-0^2 + 2 \cdot 0 + 1}{(0^2+1)^2} = \frac{1}{1} = 1 \]
7. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\[ f'(1) = \frac{-1^2 + 2 \cdot 1 + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1 + 2 + 1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Ответ: f^{'}(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+2)^{2}}, f^{'}(0)=1, f^{'}(1)=\frac{1}{2}

Решение №3111: Для нахождения производной функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + \cos(2x)) = -2\sin(2x) \]
2. Найти точки пересечения функции с осями:
• Для оси \( O_x \):
\[ f(x) = 0 \implies 1 + \cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -1 \]
• Решить уравнение \( \cos(2x) = -1 \):
\[ 2x = \pi + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Точки пересечения с осью \( O_x \) имеют координаты:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Для оси \( O_y \):
\[ x = 0 \]
• Точка пересечения с осью \( O_y \) имеет координаты:
\[ (0, f(0)) = (0, 1 + \cos(0)) = (0, 2) \]
3. Вычислить производную в найденных точках:
• Для точек на оси \( O_x \):
\[ f'(x) = -2\sin(2x) \]
• Подставим \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = -2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\right) = -2\sin(\pi + 2k\pi) = -2\sin(\pi) = 0 \]
• Для точки на оси \( O_y \):
\[ f'(0) = -2\sin(2 \cdot 0) = -2\sin(0) = 0 \]
4. Сравнить полученные значения производной в точках пересечения с осями:
• В точках пересечения с осью \( O_x \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0 \]
• В точке пересечения с осью \( O_y \):
\[ f'(0) = 0 \]

Ответ: f^{'}(x)=-2sin2x, f^{'}(0)=0, f^{'}\left ( \frac{\pi }{2}+\pi k \right )=0

Решение №3294: Для нахождения производной функции \( f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \]
2. Использовать формулу для дифференцирования экспоненциальной функции \( a^x \), где \( a \) — основание:
\[ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a) \]
3. Применить формулу к нашей функции, где \( a = \frac{2}{3} \):
\[ f'(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \ln \left( \frac{2}{3} \right) \]
4. Упростить выражение, используя свойства логарифмов:
\[ \ln \left( \frac{2}{3} \right) = \ln(2) - \ln(3) \]
5. Итоговое выражение для производной функции:
\[ f'(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x (\ln(2) - \ln(3)) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}ln\frac{2}{3}\)

Решение №3296: Для нахождения производной функции \( f(x) = 3^{x-2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вспомнить формулу для нахождения производной экспоненциальной функции вида \( a^u \):
\[ \frac{d}{dx}(a^u) = a^u \ln(a) \cdot \frac{du}{dx} \] где \( a \) — основание, \( u \) — аргумент.
2. Применить формулу к данной функции \( f(x) = 3^{x-2} \):
\[ \frac{d}{dx}(3^{x-2}) = 3^{x-2} \ln(3) \cdot \frac{d}{dx}(x-2) \]
3. Найти производную внутренней функции \( u = x-2 \):
\[ \frac{d}{dx}(x-2) = 1 \]
4. Подставить производную внутренней функции в формулу:
\[ \frac{d}{dx}(3^{x-2}) = 3^{x-2} \ln(3) \cdot 1 \]
5. Упростить выражение:
\[ \frac{d}{dx}(3^{x-2}) = 3^{x-2} \ln(3) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=3^{x-2}ln3\)

Решение №3302: Для нахождения производной функции \( f(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применить правило дифференцирования экспоненциальной функции с переменным показателем:
\[ f'(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \ln(10) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \]
2. Найти производную внутренней функции \( \frac{1+x}{1-x} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \]
3. Применить правило дифференцирования частного:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \frac{(1-x) \cdot \frac{d}{dx}(1+x) - (1+x) \cdot \frac{d}{dx}(1-x)}{(1-x)^2} \]
4. Вычислить производные числителя и знаменателя:
\[ \frac{d}{dx}(1+x) = 1, \quad \frac{d}{dx}(1-x) = -1 \]
5. Подставить эти значения в формулу:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \frac{(1-x) \cdot 1 - (1+x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + 1 + x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2} \]
6. Подставить результат в выражение для производной \( f(x) \):
\[ f'(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \ln(10) \cdot \frac{2}{(1-x)^2} \]
7. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{2 \ln(10) \cdot 10^{\frac{1+x}{1-x}}}{(1-x)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2}{(1-x)^{2}}10^{\frac{1+x}{1-x}}ln10\)

Решение №3303: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Заметим, что функция имеет вид \( f(x) = 2^{u(x)} \), где \( u(x) = \frac{2x-1}{3x+1} \).
2. Найдем производную \( f(x) \) с использованием правила дифференцирования сложной функции: \[ f'(x) = 2^{u(x)} \cdot \ln(2) \cdot u'(x) \]
3. Найдем производную \( u(x) \): \[ u(x) = \frac{2x-1}{3x+1} \]
4. Используем правило дифференцирования частного: \[ u'(x) = \frac{(2x-1)'(3x+1) - (2x-1)(3x+1)'}{(3x+1)^2} \]
5. Вычислим производные числителя и знаменателя: \[ (2x-1)' = 2 \] \[ (3x+1)' = 3 \]
6. Подставим эти значения в формулу: \[ u'(x) = \frac{2(3x+1) - (2x-1) \cdot 3}{(3x+1)^2} \] \[ = \frac{6x + 2 - 6x + 3}{(3x+1)^2} \] \[ = \frac{5}{(3x+1)^2} \]
7. Теперь подставим \( u'(x) \) в формулу для \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \cdot \ln(2) \cdot \frac{5}{(3x+1)^2} \]
8. Итоговая производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{5 \cdot \ln(2) \cdot 2^{\frac{2x-1}{3x+1}}}{(3x+1)^2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{5}{(3x+1)^{2}}2^{\frac{2x-1}{3x+1}}ln2\)

Решение №3305: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2^{\cos x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = \cos x \), тогда \( f(x) = 2^u \).
2. Найти производную \( 2^u \) по \( u \): \[ \frac{d}{du} (2^u) = 2^u \ln 2 \]
3. Найти производную \( u = \cos x \) по \( x \): \[ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \]
4. Применить цепное правило для нахождения производной \( f(x) = 2^{\cos x} \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (2^{\cos x}) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (-\sin x) \]
5. Упростить выражение: \[ f'(x) = -2^{\cos x} \ln 2 \sin x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-sinx2^{cosx}ln2\)

Решение №3306: Для нахождения производной функции \( f(x) = e^x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования экспоненциальной функции:
\[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=e^{x}\)

Решение №3314: Для нахождения производной функции \( f(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \]
2. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot \frac{d}{dx} u(x) \] где \( u(x) = \cos \sqrt{x-1} \).
3. Найти производную \( u(x) \):
\[ u(x) = \cos \sqrt{x-1} \] \[ \frac{d}{dx} \cos \sqrt{x-1} = -\sin \sqrt{x-1} \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{x-1} \]
4. Найти производную \( \sqrt{x-1} \):
\[ \frac{d}{dx} \sqrt{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \cdot \frac{d}{dx} (x-1) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \]
5. Подставить производные в цепочку:
\[ \frac{d}{dx} \cos \sqrt{x-1} = -\sin \sqrt{x-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \]
6. Подставить результат в формулу для производной функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \cdot \left( -\sin \sqrt{x-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \right) \]
7. Упростить выражение:
\[ f'(x) = -e^{\cos \sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sin \sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=e^{cos\sqrt{x-1}}\left ( \frac{-sin\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} \right )\)

Решение №3316: Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определим функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \]
2. Упростим выражение \( \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \). Заметим, что \( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \) является константой, обозначим её как \( C \):
\[ C = \tan \left( \frac{1}{2} \right) \]
3. Таким образом, функция \( f(x) \) принимает вид:
\[ f(x) = C^x \]
4. Для нахождения производной функции вида \( C^x \), используем формулу производной экспоненциальной функции:
\[ \frac{d}{dx} C^x = C^x \ln(C) \]
5. Подставим \( C = \tan \left( \frac{1}{2} \right) \) в формулу:
\[ f'(x) = \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right)^x \ln \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right) \]
6. Итак, производная функции \( f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \) равна:
\[ f'(x) = \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right)^x \ln \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right) \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}ln\frac{1}{2}}{cos^{2}\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}}\)

Решение №3317: Для нахождения производной функции \( f(x) = \ln(2x + 1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(2x + 1) \]
2. Использовать правило дифференцирования логарифмической функции:
\[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = 2x + 1 \).
3. Найти производную \( u \):
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2 \]
4. Подставить \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу:
\[ f'(x) = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 1} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2}{2x+1}\)

Решение №3320: Для нахождения производной функции \( f(x) = \log_2(2 + 3x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать формулу производной логарифма с основанием \( a \):
\[ \frac{d}{dx} \log_a(u) = \frac{1}{u \ln(a)} \cdot \frac{du}{dx} \]
2. Применим формулу к нашей функции \( f(x) = \log_2(2 + 3x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{(2 + 3x) \ln(2)} \cdot \frac{d}{dx}(2 + 3x) \]
3. Вычислим производную внутренней функции \( u = 2 + 3x \):
\[ \frac{d}{dx}(2 + 3x) = 3 \]
4. Подставим полученное значение обратно в формулу:
\[ f'(x) = \frac{1}{(2 + 3x) \ln(2)} \cdot 3 = \frac{3}{(2 + 3x) \ln(2)} \]
5. Итак, производная функции \( f(x) = \log_2(2 + 3x) \) равна:
\[ f'(x) = \frac{3}{(2 + 3x) \ln(2)} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3log_{2}e}{2+3x}\)

Решение №3322: Для нахождения производной функции \( f(x) = \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \right) \]
2. Пусть \( u = x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \). Тогда:
\[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \]
3. Найдем производную \( u \):
\[ u = x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \right) \]
4. Применим правило дифференцирования суммы:
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (1) + \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) \] \[ \frac{du}{dx} = 1 + 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) \]
5. Применим правило дифференцирования корня:
\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) \]
6. Найдем производную \( x^2 + 2x + 3 \):
\[ \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) = 2x + 2 \]
7. Подставим это в выражение для производной корня:
\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot (2x + 2) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]
8. Теперь подставим это в выражение для \( \frac{du}{dx} \):
\[ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]
9. Теперь подставим это в выражение для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \left( 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \right) \]
10. Выразим это в одном знаменателе:
\[ f'(x) = \frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]
11. Сократим дробь:
\[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\)

Решение №3326: Для нахождения производной функции \( f(x) = \ln(1 + \cos x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Использовать правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos x) \]
2. Применить правило дифференцирования логарифмической функции:
\[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = 1 + \cos x \).
3. Найти производную \( u \):
\[ \frac{d}{dx} (1 + \cos x) = -\sin x \]
4. Подставить \( u \) и его производную в формулу:
\[ f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x} \cdot (-\sin x) \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = -\frac{\sin x}{1 + \cos x} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-tg\frac{x}{2}\)

Решение №3328: Для нахождения производной функции \( f(x) = \ln(x^2 - 3x + 7) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( f(x) \) в виде композиции функций:
\[ f(x) = \ln(g(x)), \quad \text{где} \quad g(x) = x^2 - 3x + 7 \]
2. Найти производную внешней функции \( \ln(u) \):
\[ \frac{d}{du} \ln(u) = \frac{1}{u} \]
3. Найти производную внутренней функции \( g(x) \):
\[ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 7) = 2x - 3 \]
4. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(g(x)) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) \]
5. Подставить выражения для \( g(x) \) и \( g'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 7} \cdot (2x - 3) \]
6. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 7} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2x-3}{x^{2}-3x+7}\)

Решение №3338: Для нахождения производной функции \( f(y) = by^7 + \frac{y^3}{\sqrt{y}} + 7(y^2 - 3y + 2009) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(y) \):
\[ f(y) = by^7 + \frac{y^3}{\sqrt{y}} + 7(y^2 - 3y + 2009) \]
2. Найти производную каждого слагаемого функции \( f(y) \) по \( y \):
\[ f'(y) = \frac{d}{dy} \left( by^7 \right) + \frac{d}{dy} \left( \frac{y^3}{\sqrt{y}} \right) + \frac{d}{dy} \left( 7(y^2 - 3y + 2009) \right) \]
3. Вычислить производную первого слагаемого:
\[ \frac{d}{dy} \left( by^7 \right) = b \cdot 7y^6 = 7by^6 \]
4. Вычислить производную второго слагаемого:
\[ \frac{d}{dy} \left( \frac{y^3}{\sqrt{y}} \right) = \frac{d}{dy} \left( y^3 \cdot y^{-\frac{1}{2}} \right) = \frac{d}{dy} \left( y^{\frac{5}{2}} \right) = \frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}} \]
5. Вычислить производную третьего слагаемого:
\[ \frac{d}{dy} \left( 7(y^2 - 3y + 2009) \right) = 7 \cdot \frac{d}{dy} \left( y^2 - 3y + 2009 \right) \] \[ = 7 \left( 2y - 3 \right) = 14y - 21 \]
6. Сложить все найденные производные:
\[ f'(y) = 7by^6 + \frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}} + 14y - 21 \]

Ответ: \(7by^{6}+\frac{5}{2}y^{3/2}+14y-21\)

Решение №3342: Для нахождения производной функции \( g(x) = x \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^3}} - \frac{7x}{\sqrt[3]{x^2}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию в более удобном виде:
\[ g(x) = x \cdot x^{2/3} + \frac{1}{x^{3/2}} - \frac{7x}{x^{2/3}} \]
2. Упростить выражение:
\[ g(x) = x^{5/3} + x^{-3/2} - 7x^{1-2/3} \] \[ g(x) = x^{5/3} + x^{-3/2} - 7x^{1/3} \]
3. Найти производную каждого слагаемого отдельно:
\[ \frac{d}{dx} \left( x^{5/3} \right) = \frac{5}{3} x^{2/3} \] \[ \frac{d}{dx} \left( x^{-3/2} \right) = -\frac{3}{2} x^{-5/2} \] \[ \frac{d}{dx} \left( -7x^{1/3} \right) = -7 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = -\frac{7}{3} x^{-2/3} \]
4. Сложить производные:
\[ g'(x) = \frac{5}{3} x^{2/3} - \frac{3}{2} x^{-5/2} - \frac{7}{3} x^{-2/3} \]

Ответ: \(\frac{5}{3}x^{2/3}-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}-\frac{7}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Решение №3349: Для нахождения производной функции \( f(x) = (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) + \operatorname{ctg}(3x) + \operatorname{tg}^2(x) - \cos(1) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Дифференцировать каждую часть функции \( f(x) \) по отдельности.
2. Дифференцировать первую часть \( (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) \right] \] Используем правило произведения: \[ \frac{d}{dx} \left[ u \cdot v \right] = u' \cdot v + u \cdot v' \] где \( u = 2 + \sqrt{x} \) и \( v = 2 - \sqrt[3]{x} \). Найдем производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = \frac{d}{dx} (2 + \sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ v' = \frac{d}{dx} (2 - \sqrt[3]{x}) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \] Теперь подставим в формулу произведения: \[ \frac{d}{dx} \left[ (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) \right] = \frac{1}{2\sqrt{x}} (2 - \sqrt[3]{x}) + (2 + \sqrt{x}) \left( -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \right) \] Упростим выражение: \[ = \frac{2 - \sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{2 + \sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} \]
3. Дифференцировать вторую часть \( \operatorname{ctg}(3x) \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \operatorname{ctg}(3x) \right] = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -\frac{3}{\sin^2(3x)} \]
4. Дифференцировать третью часть \( \operatorname{tg}^2(x) \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \operatorname{tg}^2(x) \right] = 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \frac{d}{dx} \left[ \operatorname{tg}(x) \right] \] \[ = 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \sec^2(x) \]
5. Дифференцировать четвертую часть \( \cos(1) \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \cos(1) \right] = 0 \] (поскольку \( \cos(1) \) является константой).
6. Теперь сложим все производные:
\[ f'(x) = \frac{2 - \sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{2 + \sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \sec^2(x) \]

Ответ: \(\frac{1}{2\sqrt{x}}(2-\sqrt[3]{x})-(2+\sqrt{x})\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{3}{sin^{2}3x}+\frac{2tgx}{cos^{2}x}\)

Решение №3353: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos x + x \sin x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + x \sin x) \]
2. Применить правило суммы производных:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(x \sin x) \]
3. Найти производную первого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
4. Найти производную второго слагаемого, используя правило произведения:
\[ \frac{d}{dx}(x \sin x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) \]
5. Применить производные:
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
6. Соединить результаты:
\[ \frac{d}{dx}(x \sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x \]
7. Сложить производные слагаемых:
\[ f'(x) = -\sin x + \sin x + x \cos x \]
8. Упростить выражение:
\[ f'(x) = x \cos x \]

Ответ: xcosx

Решение №3355: Для нахождения производной функции \( f(t) = (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(t) \):
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t \right] \]
2. Применим правило производной суммы и произведения:
\[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] + \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] \]
3. Найдем производную первого слагаемого \((2 - t^2) \cos t\):
\[ \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] = \frac{d}{dt} (2 - t^2) \cdot \cos t + (2 - t^2) \cdot \frac{d}{dt} (\cos t) \]
4. Производная \((2 - t^2)\):
\[ \frac{d}{dt} (2 - t^2) = -2t \]
5. Производная \(\cos t\):
\[ \frac{d}{dt} (\cos t) = -\sin t \]
6. Подставим производные в выражение:
\[ \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] = (-2t) \cos t + (2 - t^2) (-\sin t) \]
7. Найдем производную второго слагаемого \(2t \sin t\):
\[ \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] = \frac{d}{dt} (2t) \cdot \sin t + 2t \cdot \frac{d}{dt} (\sin t) \]
8. Производная \(2t\):
\[ \frac{d}{dt} (2t) = 2 \]
9. Производная \(\sin t\):
\[ \frac{d}{dt} (\sin t) = \cos t \]
10. Подставим производные в выражение:
\[ \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] = 2 \sin t + 2t \cos t \]
11. Теперь сложим все части производной:
\[ f'(t) = (-2t) \cos t + (2 - t^2) (-\sin t) + 2 \sin t + 2t \cos t \]
12. Упростим выражение:
\[ f'(t) = -2t \cos t - (2 - t^2) \sin t + 2 \sin t + 2t \cos t \]
13. Сгруппируем подобные члены:
\[ f'(t) = -2t \cos t + 2t \cos t - 2 \sin t + t^2 \sin t + 2 \sin t \]
14. Упростим окончательно:
\[ f'(t) = t^2 \sin t \]

Ответ: (t^{2}sint

Решение №3356: Для нахождения производной функции \( f(t) = \frac{1}{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt[3]{t}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( f(t) \) в более удобной форме:
\[ f(t) = t^{-1} + t^{-\frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{3}} \]
2. Найти производную каждого слагаемого функции \( f(t) \):
3. Производная первого слагаемого:
\[ \frac{d}{dt}(t^{-1}) = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2} \]
4. Производная второго слагаемого:
\[ \frac{d}{dt}(t^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{t^3}} \]
5. Производная третьего слагаемого:
\[ \frac{d}{dt}(t^{-\frac{1}{3}}) = -\frac{1}{3} t^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \frac{1}{t^{\frac{4}{3}}} \]
6. Сложить производные всех слагаемых:
\[ f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{t^3}} - \frac{1}{3} \frac{1}{t^{\frac{4}{3}}} \]

Ответ: \(-\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{t^{3}}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{t^{4}}}\)

Решение №3364: Для нахождения производной функции \( f(y) = \frac{2 \cos y}{\sqrt{\cos 2y}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать функцию \( f(y) \) в удобной для дифференцирования форме:
\[ f(y) = 2 \cos y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} \]
2. Применить правило производной произведения:
\[ f'(y) = \left( 2 \cos y \right)' \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + 2 \cos y \cdot \left( (\cos 2y)^{-1/2} \right)' \]
3. Найти производную первого множителя \( 2 \cos y \):
\[ \left( 2 \cos y \right)' = -2 \sin y \]
4. Найти производную второго множителя \( (\cos 2y)^{-1/2} \), используя правило цепочки:
\[ \left( (\cos 2y)^{-1/2} \right)' = -\frac{1}{2} (\cos 2y)^{-3/2} \cdot (\cos 2y)' \]
5. Найти производную \( \cos 2y \):
\[ (\cos 2y)' = -2 \sin 2y \]
6. Подставить найденные производные в выражение для \( f'(y) \):
\[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + 2 \cos y \cdot \left( -\frac{1}{2} (\cos 2y)^{-3/2} \cdot (-2 \sin 2y) \right) \]
7. Упростить выражение:
\[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + 2 \cos y \cdot \left( \frac{1}{2} (\cos 2y)^{-3/2} \cdot 2 \sin 2y \right) \] \[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + \cos y \cdot (\cos 2y)^{-3/2} \cdot \sin 2y \]

Ответ: \(\frac{2siny}{\sqrt{cos^{3}2y}}\)

Решение №3369: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2 + x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Напомним, что производная функции \( \operatorname{ctg}(u) \) равна:
\[ \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(u) = -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \frac{du}{dx} \]
2. Обозначим \( u = 2 + x^2 \). Тогда:
\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + x^2) = 2x \]
3. Подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу производной:
\[ \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(2 + x^2) = -\frac{1}{\sin^2(2 + x^2)} \cdot 2x \]
4. Итак, производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2 + x^2) \) равна:
\[ f'(x) = -\frac{2x}{\sin^2(2 + x^2)} \]

Ответ: \(-\frac{2x}{sin^{2}(x^{2}+2)}\)

Решение №3371: Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \]
2. Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos(1 - x\sqrt{x}) \right) \]
3. Найти производную внешней функции \( \cos(u) \), где \( u = 1 - x\sqrt{x} \):
\[ \frac{d}{du} \left( \cos(u) \right) = -\sin(u) \]
4. Найти производную внутренней функции \( u = 1 - x\sqrt{x} \):
\[ u(x) = 1 - x\sqrt{x} \] \[ u'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 - x\sqrt{x} \right) \]
5. Найти производную \( x\sqrt{x} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( x\sqrt{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{1/2} \]
6. Подставить производную внутренней функции в формулу цепочки:
\[ u'(x) = -\frac{3}{2} x^{1/2} \]
7. Подставить оба результата в формулу цепочки:
\[ f'(x) = -\sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot \left( -\frac{3}{2} x^{1/2} \right) \]
8. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} \sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot x^{1/2} \]

Ответ: \(\frac{3}{2}\sqrt{x}sin(1-x\sqrt{x})\)

Решение №3374: Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Записать функцию и её производную:** \[ f(x) = \operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \] 2. **Применить правило дифференцирования сложной функции:** \[ f'(x) = \left(\operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)\right)' \] 3. **Использовать формулу производной тангенса:** \[ \frac{d}{dx} \operatorname{tg}(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{du}{dx} \] Где \( u = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} \). 4. **Найти производную \( u \):** \[ u = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \] 5. **Использовать цепное правило для нахождения производной \( 2\sin^2\frac{x}{2} \):** \[ \frac{d}{dx}\left(2\sin^2\frac{x}{2}\right) = 2 \cdot 2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\frac{x}{2}\right) \] \[ \frac{d}{dx}\left(\sin\frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \] 6. **Подставить полученные производные:** \[ \frac{du}{dx} = -2 \cdot 2\sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \] 7. **Подставить \( u \) и её производную в формулу производной тангенса:** \[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \cdot \left(-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right) \] 8. **Упростить выражение:** \[ f'(x) = -\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \] Таким образом, производная функции \( f(x) = \operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \) равна: \[ f'(x) = -\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \] Ответ: \[ f'(x) = -\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \]

Ответ: \(\frac{-sinx}{cos^{2}(cosx)}\)

Решение №3380: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \]
2. Использовать правило дифференцирования частного (quotient rule):
\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = e^x - 1 \) и \( v = e^x + 1 \).
3. Найти производные \( u' \) и \( v' \):
\[ u' = (e^x - 1)' = e^x \] \[ v' = (e^x + 1)' = e^x \]
4. Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(e^x)(e^x + 1) - (e^x - 1)(e^x)}{(e^x + 1)^2} \]
5. Раскрыть скобки и упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{e^x \cdot e^x + e^x - (e^x \cdot e^x - e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} \]
6. Упростить числитель:
\[ f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} \]

Ответ: \(\frac{2e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}\)

Решение №3383: Для нахождения производной функции \( f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x \]
2. Применим правило дифференцирования произведения функций. Если \( u(x) = x^2 - 2x + 2 \) и \( v(x) = e^x \), то:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
3. Найдём производные \( u(x) \) и \( v(x) \):
\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \]
4. Подставим найденные производные в формулу дифференцирования произведения:
\[ f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x \]
5. Объединим подобные члены:
\[ f'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x + 2)e^x = (x^2)e^x \]
6. Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна:
\[ f'(x) = x^2 e^x \]

Ответ: \(x^{2}e^{x}\)