№3322

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=ln(x+1+\sqrt{x^{2}+2x+3})\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\)

Решение № 3322:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Применим правило дифференцирования сложной функции (цепочки): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \right) \] <li> Пусть \( u = x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \). Тогда: </li> \[ f'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \] <li> Найдем производную \( u \): </li> \[ u = x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \right) \] <li> Применим правило дифференцирования суммы: </li> \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (1) + \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) \] \[ \frac{du}{dx} = 1 + 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) \] <li> Применим правило дифференцирования корня: </li> \[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) \] <li> Найдем производную \( x^2 + 2x + 3 \): </li> \[ \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) = 2x + 2 \] <li> Подставим это в выражение для производной корня: </li> \[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 2x + 3}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot (2x + 2) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] <li> Теперь подставим это в выражение для \( \frac{du}{dx} \): </li> \[ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] <li> Теперь подставим это в выражение для \( f'(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \left( 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \right) \] <li> Выразим это в одном знаменателе: </li> \[ f'(x) = \frac{1}{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] <li> Сократим дробь: </li> \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 3}) \) равна: \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \]