№3305

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=2^{cosx}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-sinx2^{cosx}ln2\)

Решение № 3305:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 2^{\cos x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Использовать правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = \cos x \), тогда \( f(x) = 2^u \). </li> <li> Найти производную \( 2^u \) по \( u \): \[ \frac{d}{du} (2^u) = 2^u \ln 2 \] </li> <li> Найти производную \( u = \cos x \) по \( x \): \[ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \] </li> <li> Применить цепное правило для нахождения производной \( f(x) = 2^{\cos x} \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (2^{\cos x}) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = 2^{\cos x} \ln 2 \cdot (-\sin x) \] </li> <li> Упростить выражение: \[ f'(x) = -2^{\cos x} \ln 2 \sin x \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = 2^{\cos x} \) равна: \[ f'(x) = -2^{\cos x} \ln 2 \sin x \]