№3383

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=(x^{2}-2x+2)e^{x}\)

Ответ

\(x^{2}e^{x}\)

Решение № 3383:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Запишем функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x \] <li> Применим правило дифференцирования произведения функций. Если \( u(x) = x^2 - 2x + 2 \) и \( v(x) = e^x \), то: </li> \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] <li> Найдём производные \( u(x) \) и \( v(x) \): </li> \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 2) = 2x - 2 \] \[ v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \] <li> Подставим найденные производные в формулу дифференцирования произведения: </li> \[ f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x \] <li> Объединим подобные члены: </li> \[ f'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x + 2)e^x = (x^2)e^x \] <li> Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна: </li> \[ f'(x) = x^2 e^x \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x \) равна \( f'(x) = x^2 e^x \).