№3302

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=10^{\frac{1+x}{1-x}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{2}{(1-x)^{2}}10^{\frac{1+x}{1-x}}ln10\)

Решение № 3302:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Применить правило дифференцирования экспоненциальной функции с переменным показателем: </li> \[ f'(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \ln(10) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \] <li> Найти производную внутренней функции \( \frac{1+x}{1-x} \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \] <li> Применить правило дифференцирования частного: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \frac{(1-x) \cdot \frac{d}{dx}(1+x) - (1+x) \cdot \frac{d}{dx}(1-x)}{(1-x)^2} \] <li> Вычислить производные числителя и знаменателя: </li> \[ \frac{d}{dx}(1+x) = 1, \quad \frac{d}{dx}(1-x) = -1 \] <li> Подставить эти значения в формулу: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \frac{(1-x) \cdot 1 - (1+x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + 1 + x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2} \] <li> Подставить результат в выражение для производной \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \ln(10) \cdot \frac{2}{(1-x)^2} \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = \frac{2 \ln(10) \cdot 10^{\frac{1+x}{1-x}}}{(1-x)^2} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = 10^{\frac{1+x}{1-x}} \) равна: \[ f'(x) = \frac{2 \ln(10) \cdot 10^{\frac{1+x}{1-x}}}{(1-x)^2} \]