№3364

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(y)=\frac{2cosy}{\sqrt{cos2y}}\)

Ответ

\(\frac{2siny}{\sqrt{cos^{3}2y}}\)

Решение № 3364:

Для нахождения производной функции \( f(y) = \frac{2 \cos y}{\sqrt{\cos 2y}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Переписать функцию \( f(y) \) в удобной для дифференцирования форме: </li> \[ f(y) = 2 \cos y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} \] <li> Применить правило производной произведения: </li> \[ f'(y) = \left( 2 \cos y \right)' \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + 2 \cos y \cdot \left( (\cos 2y)^{-1/2} \right)' \] <li> Найти производную первого множителя \( 2 \cos y \): </li> \[ \left( 2 \cos y \right)' = -2 \sin y \] <li> Найти производную второго множителя \( (\cos 2y)^{-1/2} \), используя правило цепочки: </li> \[ \left( (\cos 2y)^{-1/2} \right)' = -\frac{1}{2} (\cos 2y)^{-3/2} \cdot (\cos 2y)' \] <li> Найти производную \( \cos 2y \): </li> \[ (\cos 2y)' = -2 \sin 2y \] <li> Подставить найденные производные в выражение для \( f'(y) \): </li> \[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + 2 \cos y \cdot \left( -\frac{1}{2} (\cos 2y)^{-3/2} \cdot (-2 \sin 2y) \right) \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + 2 \cos y \cdot \left( \frac{1}{2} (\cos 2y)^{-3/2} \cdot 2 \sin 2y \right) \] \[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + \cos y \cdot (\cos 2y)^{-3/2} \cdot \sin 2y \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(y) = \frac{2 \cos y}{\sqrt{\cos 2y}} \) равна: \[ f'(y) = -2 \sin y \cdot (\cos 2y)^{-1/2} + \cos y \cdot (\cos 2y)^{-3/2} \cdot \sin 2y \]