№3338

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выписать производные функции, считая \(a, b, c, d\) - параметрами (числами), а \(x, y, z, t\) - переменными (аргументами функций).\(f(y)=by^{7}+\frac{y^{3}}{\sqrt{y}}+7(y^{2}-3y+2009)\)

Ответ

\(7by^{6}+\frac{5}{2}y^{3/2}+14y-21\)

Решение № 3338:

Для нахождения производной функции \( f(y) = by^7 + \frac{y^3}{\sqrt{y}} + 7(y^2 - 3y + 2009) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию \( f(y) \): </li> \[ f(y) = by^7 + \frac{y^3}{\sqrt{y}} + 7(y^2 - 3y + 2009) \] <li> Найти производную каждого слагаемого функции \( f(y) \) по \( y \): </li> \[ f'(y) = \frac{d}{dy} \left( by^7 \right) + \frac{d}{dy} \left( \frac{y^3}{\sqrt{y}} \right) + \frac{d}{dy} \left( 7(y^2 - 3y + 2009) \right) \] <li> Вычислить производную первого слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dy} \left( by^7 \right) = b \cdot 7y^6 = 7by^6 \] <li> Вычислить производную второго слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dy} \left( \frac{y^3}{\sqrt{y}} \right) = \frac{d}{dy} \left( y^3 \cdot y^{-\frac{1}{2}} \right) = \frac{d}{dy} \left( y^{\frac{5}{2}} \right) = \frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}} \] <li> Вычислить производную третьего слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dy} \left( 7(y^2 - 3y + 2009) \right) = 7 \cdot \frac{d}{dy} \left( y^2 - 3y + 2009 \right) \] \[ = 7 \left( 2y - 3 \right) = 14y - 21 \] <li> Сложить все найденные производные: </li> \[ f'(y) = 7by^6 + \frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}} + 14y - 21 \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(y) \): <br> \[ f'(y) = 7by^6 + \frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}} + 14y - 21 \]