№3374

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=tg\left ( 1-2sin^{2}\frac{x}{2} \right )\)

Ответ

\(\frac{-sinx}{cos^{2}(cosx)}\)

Решение № 3374:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Записать функцию и её производную:** \[ f(x) = \operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \] 2. **Применить правило дифференцирования сложной функции:** \[ f'(x) = \left(\operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)\right)' \] 3. **Использовать формулу производной тангенса:** \[ \frac{d}{dx} \operatorname{tg}(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{du}{dx} \] Где \( u = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} \). 4. **Найти производную \( u \):** \[ u = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \] 5. **Использовать цепное правило для нахождения производной \( 2\sin^2\frac{x}{2} \):** \[ \frac{d}{dx}\left(2\sin^2\frac{x}{2}\right) = 2 \cdot 2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\frac{x}{2}\right) \] \[ \frac{d}{dx}\left(\sin\frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \] 6. **Подставить полученные производные:** \[ \frac{du}{dx} = -2 \cdot 2\sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \] 7. **Подставить \( u \) и её производную в формулу производной тангенса:** \[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \cdot \left(-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right) \] 8. **Упростить выражение:** \[ f'(x) = -\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \] Таким образом, производная функции \( f(x) = \operatorname{tg}\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) \) равна: \[ f'(x) = -\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \] Ответ: \[ f'(x) = -\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2\left(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right)} \]