№3316

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=tg\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}ln\frac{1}{2}}{cos^{2}\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}}\)

Решение № 3316:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определим функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \] <li> Упростим выражение \( \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \). Заметим, что \( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \) является константой, обозначим её как \( C \): </li> \[ C = \tan \left( \frac{1}{2} \right) \] <li> Таким образом, функция \( f(x) \) принимает вид: </li> \[ f(x) = C^x \] <li> Для нахождения производной функции вида \( C^x \), используем формулу производной экспоненциальной функции: </li> \[ \frac{d}{dx} C^x = C^x \ln(C) \] <li> Подставим \( C = \tan \left( \frac{1}{2} \right) \) в формулу: </li> \[ f'(x) = \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right)^x \ln \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right) \] <li> Итак, производная функции \( f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \) равна: </li> \[ f'(x) = \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right)^x \ln \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \tan \left( \frac{1}{2} \right)^x \) равна \( \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right)^x \ln \left( \tan \left( \frac{1}{2} \right) \right) \).