№3349

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=(2+\sqrt{x})(2-\sqrt[3]{x})+ctg3x+tg^{2}x-cos1\)

Ответ

\(\frac{1}{2\sqrt{x}}(2-\sqrt[3]{x})-(2+\sqrt{x})\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{3}{sin^{2}3x}+\frac{2tgx}{cos^{2}x}\)

Решение № 3349:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) + \operatorname{ctg}(3x) + \operatorname{tg}^2(x) - \cos(1) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Дифференцировать каждую часть функции \( f(x) \) по отдельности. </li> <li> Дифференцировать первую часть \( (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) \right] \] Используем правило произведения: \[ \frac{d}{dx} \left[ u \cdot v \right] = u' \cdot v + u \cdot v' \] где \( u = 2 + \sqrt{x} \) и \( v = 2 - \sqrt[3]{x} \). Найдем производные \( u' \) и \( v' \): \[ u' = \frac{d}{dx} (2 + \sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ v' = \frac{d}{dx} (2 - \sqrt[3]{x}) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \] Теперь подставим в формулу произведения: \[ \frac{d}{dx} \left[ (2 + \sqrt{x})(2 - \sqrt[3]{x}) \right] = \frac{1}{2\sqrt{x}} (2 - \sqrt[3]{x}) + (2 + \sqrt{x}) \left( -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \right) \] Упростим выражение: \[ = \frac{2 - \sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{2 + \sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} \] </li> <li> Дифференцировать вторую часть \( \operatorname{ctg}(3x) \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ \operatorname{ctg}(3x) \right] = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = -\frac{3}{\sin^2(3x)} \] </li> <li> Дифференцировать третью часть \( \operatorname{tg}^2(x) \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ \operatorname{tg}^2(x) \right] = 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \frac{d}{dx} \left[ \operatorname{tg}(x) \right] \] \[ = 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \sec^2(x) \] </li> <li> Дифференцировать четвертую часть \( \cos(1) \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left[ \cos(1) \right] = 0 \] (поскольку \( \cos(1) \) является константой). </li> <li> Теперь сложим все производные: </li> \[ f'(x) = \frac{2 - \sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{2 + \sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \sec^2(x) \] </li> </ol> Ответ: <br> \[ f'(x) = \frac{2 - \sqrt[3]{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{2 + \sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{3}{\sin^2(3x)} + 2 \operatorname{tg}(x) \cdot \sec^2(x) \]