№3342

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выписать производные функции, считая \(a, b, c, d\) - параметрами (числами), а \(x, y, z, t\) - переменными (аргументами функций).\(g(x)=x\sqrt[3]{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{7x}{\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Ответ

\(\frac{5}{3}x^{2/3}-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}-\frac{7}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Решение № 3342:

Для нахождения производной функции \( g(x) = x \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^3}} - \frac{7x}{\sqrt[3]{x^2}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию в более удобном виде: </li> \[ g(x) = x \cdot x^{2/3} + \frac{1}{x^{3/2}} - \frac{7x}{x^{2/3}} \] </li> <li> Упростить выражение: </li> \[ g(x) = x^{5/3} + x^{-3/2} - 7x^{1-2/3} \] \[ g(x) = x^{5/3} + x^{-3/2} - 7x^{1/3} \] </li> <li> Найти производную каждого слагаемого отдельно: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( x^{5/3} \right) = \frac{5}{3} x^{2/3} \] \[ \frac{d}{dx} \left( x^{-3/2} \right) = -\frac{3}{2} x^{-5/2} \] \[ \frac{d}{dx} \left( -7x^{1/3} \right) = -7 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = -\frac{7}{3} x^{-2/3} \] </li> <li> Сложить производные: </li> \[ g'(x) = \frac{5}{3} x^{2/3} - \frac{3}{2} x^{-5/2} - \frac{7}{3} x^{-2/3} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( g(x) \): <br> \[ g'(x) = \frac{5}{3} x^{2/3} - \frac{3}{2} x^{-5/2} - \frac{7}{3} x^{-2/3} \]