№3356

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(t)=\frac{1}{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{\sqrt[3]{t}}\)

Ответ

\(-\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{t^{3}}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{t^{4}}}\)

Решение № 3356:

Для нахождения производной функции \( f(t) = \frac{1}{t} + \frac{1}{\sqrt{t}} + \frac{1}{\sqrt[3]{t}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Выразить функцию \( f(t) \) в более удобной форме: </li> \[ f(t) = t^{-1} + t^{-\frac{1}{2}} + t^{-\frac{1}{3}} \] <li> Найти производную каждого слагаемого функции \( f(t) \): </li> <li> Производная первого слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dt}(t^{-1}) = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2} \] <li> Производная второго слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dt}(t^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{t^3}} \] <li> Производная третьего слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dt}(t^{-\frac{1}{3}}) = -\frac{1}{3} t^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \frac{1}{t^{\frac{4}{3}}} \] <li> Сложить производные всех слагаемых: </li> \[ f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{t^3}} - \frac{1}{3} \frac{1}{t^{\frac{4}{3}}} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(t) \): \[ f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{t^3}} - \frac{1}{3} \frac{1}{t^{\frac{4}{3}}} \]