№3371

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=cos(1-x\sqrt{x})\)

Ответ

\(\frac{3}{2}\sqrt{x}sin(1-x\sqrt{x})\)

Решение № 3371:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \] <li> Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos(1 - x\sqrt{x}) \right) \] <li> Найти производную внешней функции \( \cos(u) \), где \( u = 1 - x\sqrt{x} \): </li> \[ \frac{d}{du} \left( \cos(u) \right) = -\sin(u) \] <li> Найти производную внутренней функции \( u = 1 - x\sqrt{x} \): </li> \[ u(x) = 1 - x\sqrt{x} \] \[ u'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 - x\sqrt{x} \right) \] <li> Найти производную \( x\sqrt{x} \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left( x\sqrt{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{1/2} \] <li> Подставить производную внутренней функции в формулу цепочки: </li> \[ u'(x) = -\frac{3}{2} x^{1/2} \] <li> Подставить оба результата в формулу цепочки: </li> \[ f'(x) = -\sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot \left( -\frac{3}{2} x^{1/2} \right) \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = \frac{3}{2} \sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot x^{1/2} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \cos(1 - x\sqrt{x}) \) равна: <br> \[ f'(x) = \frac{3}{2} \sin(1 - x\sqrt{x}) \cdot x^{1/2} \]