№3369

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=ctg(2+x^{2})\)

Ответ

\(-\frac{2x}{sin^{2}(x^{2}+2)}\)

Решение № 3369:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2 + x^2) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Напомним, что производная функции \( \operatorname{ctg}(u) \) равна: </li> \[ \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(u) = -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \frac{du}{dx} \] <li> Обозначим \( u = 2 + x^2 \). Тогда: </li> \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2 + x^2) = 2x \] <li> Подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу производной: </li> \[ \frac{d}{dx} \operatorname{ctg}(2 + x^2) = -\frac{1}{\sin^2(2 + x^2)} \cdot 2x \] <li> Итак, производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2 + x^2) \) равна: </li> \[ f'(x) = -\frac{2x}{\sin^2(2 + x^2)} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \operatorname{ctg}(2 + x^2) \) равна: \[ f'(x) = -\frac{2x}{\sin^2(2 + x^2)} \]