№3314

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=e^{cos\sqrt{x-1}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=e^{cos\sqrt{x-1}}\left ( \frac{-sin\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} \right )\)

Решение № 3314:

Для нахождения производной функции \( f(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \] <li> Применить правило дифференцирования сложной функции (цепочки): </li> \[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot \frac{d}{dx} u(x) \] где \( u(x) = \cos \sqrt{x-1} \). <li> Найти производную \( u(x) \): </li> \[ u(x) = \cos \sqrt{x-1} \] \[ \frac{d}{dx} \cos \sqrt{x-1} = -\sin \sqrt{x-1} \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{x-1} \] <li> Найти производную \( \sqrt{x-1} \): </li> \[ \frac{d}{dx} \sqrt{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \cdot \frac{d}{dx} (x-1) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \] <li> Подставить производные в цепочку: </li> \[ \frac{d}{dx} \cos \sqrt{x-1} = -\sin \sqrt{x-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \] <li> Подставить результат в формулу для производной функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \cdot \left( -\sin \sqrt{x-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \right) \] <li> Упростить выражение: </li> \[ f'(x) = -e^{\cos \sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sin \sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = e^{\cos \sqrt{x-1}} \) равна: \[ f'(x) = -e^{\cos \sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sin \sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} \]