№3380

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\)

Ответ

\(\frac{2e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}\)

Решение № 3380:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Записать функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \] <li> Использовать правило дифференцирования частного (quotient rule): </li> \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = e^x - 1 \) и \( v = e^x + 1 \). <li> Найти производные \( u' \) и \( v' \): </li> \[ u' = (e^x - 1)' = e^x \] \[ v' = (e^x + 1)' = e^x \] <li> Подставить \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной частного: </li> \[ f'(x) = \frac{(e^x)(e^x + 1) - (e^x - 1)(e^x)}{(e^x + 1)^2} \] <li> Раскрыть скобки и упростить числитель: </li> \[ f'(x) = \frac{e^x \cdot e^x + e^x - (e^x \cdot e^x - e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} \] <li> Упростить числитель: </li> \[ f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \) равна: <br> \[ f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} \]