№3355

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(t)=(2-t^{2})cost+2tsint\)

Ответ

(t^{2}sint

Решение № 3355:

Для нахождения производной функции \( f(t) = (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(t) \): </li> \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t + 2t \sin t \right] \] </li> <li> Применим правило производной суммы и произведения: </li> \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] + \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] \] </li> <li> Найдем производную первого слагаемого \((2 - t^2) \cos t\): </li> \[ \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] = \frac{d}{dt} (2 - t^2) \cdot \cos t + (2 - t^2) \cdot \frac{d}{dt} (\cos t) \] </li> <li> Производная \((2 - t^2)\): </li> \[ \frac{d}{dt} (2 - t^2) = -2t \] </li> <li> Производная \(\cos t\): </li> \[ \frac{d}{dt} (\cos t) = -\sin t \] </li> <li> Подставим производные в выражение: </li> \[ \frac{d}{dt} \left[ (2 - t^2) \cos t \right] = (-2t) \cos t + (2 - t^2) (-\sin t) \] </li> <li> Найдем производную второго слагаемого \(2t \sin t\): </li> \[ \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] = \frac{d}{dt} (2t) \cdot \sin t + 2t \cdot \frac{d}{dt} (\sin t) \] </li> <li> Производная \(2t\): </li> \[ \frac{d}{dt} (2t) = 2 \] </li> <li> Производная \(\sin t\): </li> \[ \frac{d}{dt} (\sin t) = \cos t \] </li> <li> Подставим производные в выражение: </li> \[ \frac{d}{dt} \left[ 2t \sin t \right] = 2 \sin t + 2t \cos t \] </li> <li> Теперь сложим все части производной: </li> \[ f'(t) = (-2t) \cos t + (2 - t^2) (-\sin t) + 2 \sin t + 2t \cos t \] </li> <li> Упростим выражение: </li> \[ f'(t) = -2t \cos t - (2 - t^2) \sin t + 2 \sin t + 2t \cos t \] </li> <li> Сгруппируем подобные члены: </li> \[ f'(t) = -2t \cos t + 2t \cos t - 2 \sin t + t^2 \sin t + 2 \sin t \] </li> <li> Упростим окончательно: </li> \[ f'(t) = t^2 \sin t \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(t) \): \[ f'(t) = t^2 \sin t \]