№3100

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Выписать производную в заданной точке (точках) \(x_{0}\)\(f(x)=e^{cosx}sinx, x_{0}=\frac{3\pi }{2}\)

Ответ

-1

Решение № 3100:

<ol> <li> Найти производную функции \( f(x) = e^{\cos x} \sin x \): </li> Для нахождения производной используем правило произведения: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) \sin x + e^{\cos x} \frac{d}{dx} (\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) = e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] Таким образом, \[ f'(x) = e^{\cos x} (-\sin x) \sin x + e^{\cos x} \cos x = e^{\cos x} (\cos x - \sin^2 x) \] <li> Вычислить значение производной в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \): </li> \[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{\cos \left( \frac{3\pi}{2} \right)} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right) \] Найдем значения тригонометрических функций в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \): \[ \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0 \] \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1 \] Подставим эти значения в выражение для производной: \[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{0} \left( 0 - (-1)^2 \right) = 1 \left( 0 - 1 \right) = -1 \] </ol> Ответ: <br> Значение производной в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \) равно \( -1 \).