№3294

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}ln\frac{2}{3}\)

Решение № 3294:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \] <li> Использовать формулу для дифференцирования экспоненциальной функции \( a^x \), где \( a \) — основание: </li> \[ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a) \] <li> Применить формулу к нашей функции, где \( a = \frac{2}{3} \): </li> \[ f'(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \ln \left( \frac{2}{3} \right) \] <li> Упростить выражение, используя свойства логарифмов: </li> \[ \ln \left( \frac{2}{3} \right) = \ln(2) - \ln(3) \] <li> Итоговое выражение для производной функции: </li> \[ f'(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x (\ln(2) - \ln(3)) \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \) равна \( \left( \frac{2}{3} \right)^x (\ln(2) - \ln(3)) \).