№3303

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=2^{\frac{2x-1}{3x+1}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{5}{(3x+1)^{2}}2^{\frac{2x-1}{3x+1}}ln2\)

Решение № 3303:

Для нахождения производной функции \( f(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Заметим, что функция имеет вид \( f(x) = 2^{u(x)} \), где \( u(x) = \frac{2x-1}{3x+1} \). </li> <li> Найдем производную \( f(x) \) с использованием правила дифференцирования сложной функции: \[ f'(x) = 2^{u(x)} \cdot \ln(2) \cdot u'(x) \] </li> <li> Найдем производную \( u(x) \): \[ u(x) = \frac{2x-1}{3x+1} \] </li> <li> Используем правило дифференцирования частного: \[ u'(x) = \frac{(2x-1)'(3x+1) - (2x-1)(3x+1)'}{(3x+1)^2} \] </li> <li> Вычислим производные числителя и знаменателя: \[ (2x-1)' = 2 \] \[ (3x+1)' = 3 \] </li> <li> Подставим эти значения в формулу: \[ u'(x) = \frac{2(3x+1) - (2x-1) \cdot 3}{(3x+1)^2} \] \[ = \frac{6x + 2 - 6x + 3}{(3x+1)^2} \] \[ = \frac{5}{(3x+1)^2} \] </li> <li> Теперь подставим \( u'(x) \) в формулу для \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \cdot \ln(2) \cdot \frac{5}{(3x+1)^2} \] </li> <li> Итоговая производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{5 \cdot \ln(2) \cdot 2^{\frac{2x-1}{3x+1}}}{(3x+1)^2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = 2^{\frac{2x-1}{3x+1}} \): \[ f'(x) = \frac{5 \cdot \ln(2) \cdot 2^{\frac{2x-1}{3x+1}}}{(3x+1)^2} \]