Решение №3152: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{3}x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x + 2\right) \]
2. Разделить функцию на части и найти производную каждой части:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x\right) + \frac{d}{dx}(2) \]
3. Найти производную первой части:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x\right) = \frac{1}{3} \]
4. Найти производную второй части:
\[ \frac{d}{dx}(2) = 0 \]
5. Сложить производные обеих частей:
\[ f'(x) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{3}\)

Решение №3154: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2x - \frac{1}{4} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = 2x - \frac{1}{4} \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - \frac{1}{4}) \]
3. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}) \]
4. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}) = 0 \]
5. Объединить результаты:
\[ f'(x) = 2 - 0 = 2 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2\)

Решение №3160: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{2}x + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{2}x + 2\right) \]
2. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) + \frac{d}{dx}(2) \]
3. Дифференцировать каждое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}x^2\right) = \frac{2}{9}x \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{d}{dx}(2) = 0 \]
4. Объединить результаты:
\[ f'(x) = \frac{2}{9}x - \frac{1}{2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2}{9}x-\frac{1}{2}\)

Решение №3162: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = x^2 - x \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - x) \]
3. Применить правила дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) \]
4. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]
5. Сложить результаты:
\[ f'(x) = 2x - 1 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x-1\)

Решение №3163: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2x - 4x^2 - 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 4x^2 - 5) \]
2. Применить правила дифференцирования к каждому слагаемому:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(4x^2) - \frac{d}{dx}(5) \]
3. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \] \[ \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x \] \[ \frac{d}{dx}(5) = 0 \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 2 - 8x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-8x+2\)

Решение №3166: Для нахождения производной функции \( f(x) = -2x^2 - \frac{5}{3}x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-2x^2 - \frac{5}{3}x\right) \]
2. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-2x^2\right) + \frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{3}x\right) \]
3. Найти производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(-2x^2\right) = -2 \cdot 2x = -4x \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{3}x\right) = -\frac{5}{3} \cdot 1 = -\frac{5}{3} \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = -4x - \frac{5}{3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=4x-\frac{5}{3}\)

Решение №3169: Для нахождения производных функции \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1\right) \]
2. Применим правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) - \frac{d}{dx}(1) \]
3. Дифференцируем каждое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^3\right) = \frac{3}{2}x^2 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x \] \[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \]
4. Сложим полученные производные:
\[ f'(x) = \frac{3}{2}x^2 + 3x \]
5. Найти вторую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2 + 3x\right) \]
6. Применим правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}(3x) \]
7. Дифференцируем каждое слагаемое:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) = 3x \] \[ \frac{d}{dx}(3x) = 3 \]
8. Сложим полученные производные:
\[ f'(x) = 3x + 3 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\)

Решение №3173: Для нахождения производной функции \( f(x) = -2x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделим функцию на отдельные слагаемые и найдем производную каждого слагаемого:
\[ f(x) = -2x^3 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}x^2 \]
2. Найдем производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{2}x^2\right) = -7x \]
3. Сложим полученные производные:
\[ f'(x) = -6x^2 + \frac{1}{2} - 7x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-6x^{2}-7x+\frac{1}{2}\)

Решение №3177: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать исходную функцию:
\[ f(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9 \]
2. Найти производную каждого слагаемого функции:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}x^5\right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3 \] \[ \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right) = -3 \cdot 2x = -6x \] \[ \frac{d}{dx}(9) = 0 \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = x^4 + x^3 - 6x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=x^{4}+x^{3}-6x\)

Решение №3182: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) = \sqrt{x} \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) \]
2. Переписать функцию в виде степени:
\[ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \]
3. Применить правило дифференцирования для степенной функции \( x^n \):
\[ \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n x^{n-1} \]
4. Подставить \( n = \frac{1}{2} \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \]
5. Переписать производную в виде дроби:
\[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Решение №3187: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2} \).
2. Найдем производную каждого слагаемого в отдельности:
3. Производная первого слагаемого \( x^2 \):
\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
4. Производная второго слагаемого \( -\frac{1}{x^2} \):
\[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) \]
5. Используем правило дифференцирования степенной функции:
\[ \frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \]
6. Таким образом, производная второго слагаемого:
\[ -\frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) = \frac{2}{x^3} \]
7. Теперь сложим производные каждого слагаемого:
\[ f'(x) = 2x + \frac{2}{x^3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=2x+\frac{2}{x^{3}}\)

Решение №7023: Для нахождения производной функции \( f(x) = 9x - 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(9x - 5) \]
2. Рассчитать производную каждого слагаемого отдельно:
\[ \frac{d}{dx}(9x) = 9 \] \[ \frac{d}{dx}(-5) = 0 \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 9 + 0 = 9 \]
4. Вывод:
\[ f'(x) = 9 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=9\)

Решение №7026: Для нахождения производной функции \( f(x) = -\frac{1}{4} - \frac{3}{2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = -\frac{1}{4} - \frac{3}{2} \]
2. Приметим, что функция \( f(x) \) является константой, так как не зависит от переменной \( x \).
3. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4} - \frac{3}{2}\right) \]
4. Поскольку производная от константы равна нулю:
\[ f'(x) = 0 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{1}{4}\)

Решение №7040: Для нахождения производной функции \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 2x^2 + 4) \]
2. Применить правила дифференцирования к каждому слагаемому:
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2 \] \[ \frac{d}{dx}(-2x^2) = -2 \cdot 2x = -4x \] \[ \frac{d}{dx}(4) = 0 \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 9x^2 - 4x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=9x^{2}-4x\)

Решение №7041: Для нахождения производной функции \( f(x) = 4x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать исходную функцию:
\[ f(x) = 4x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3 \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3) \]
3. Вычислить производные каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2 \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x \] \[ \frac{d}{dx}(3) = 0 \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 12x^2 + x \]

Ответ: \(f^{'}(x)=12x^{2}+4x\)

Решение №7044: Для нахождения производной функции \( f(x) = -\frac{7}{8}x^3 + 3x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{8}x^3 + 3x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{2}\right) \]
2. Применить правило дифференцирования для каждого из членов функции:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{8}x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(3x^2\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\right) \]
3. Дифференцировать каждый член:
\[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{8}x^3\right) = -\frac{7}{8} \cdot 3x^2 = -\frac{21}{8}x^2 \] \[ \frac{d}{dx}\left(3x^2\right) = 3 \cdot 2x = 6x \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x\right) = \frac{2}{3} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \]
4. Сложить результаты дифференцирования:
\[ f'(x) = -\frac{21}{8}x^2 + 6x - \frac{2}{3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{21}{8}x^{2}+6x-\frac{2}{3}\)

Решение №7045: Для нахождения производной функции \( f(x) = 3x^3 - 9x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 9x) \]
2. Применить правила дифференцирования:
\[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2 \] \[ \frac{d}{dx}(-9x) = -9 \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = 9x^2 - 9 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=9x^{2}-9\)

Решение №7056: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{x} + 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать функцию \( f(x) \) в удобной для дифференцирования форме:
\[ f(x) = \sqrt{x} + 1 = x^{1/2} + 1 \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2} + 1) \]
3. Использовать правило дифференцирования для степенной функции \( x^n \):
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
4. Применить это правило к каждому слагаемому функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) + \frac{d}{dx}(1) \]
5. Дифференцировать \( x^{1/2} \):
\[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} \]
6. Дифференцировать константу 1:
\[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \]
7. Объединить результаты:
\[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} \]
8. Переписать результат в более привычной форме:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Решение №7058: Для нахождения производной функции \( f(x) = (\sqrt{x})^3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f(x) = (\sqrt{x})^3 \]
2. Переписать функцию в более удобной форме:
\[ f(x) = (x^{1/2})^3 = x^{3/2} \]
3. Найти производную функции \( f(x) = x^{3/2} \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) \]
4. Использовать формулу для нахождения производной \( x^n \):
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1} \] где \( n = \frac{3}{2} \)
5. Подставить \( n = \frac{3}{2} \) в формулу:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \]
6. Переписать результат в более удобной форме:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}\)

Решение №7059: Для нахождения производной функции \( f(x) = x + \sqrt{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить функцию \( f(x) \) в виде, удобном для дифференцирования:
\[ f(x) = x + x^{1/2} \]
2. Найти производную каждого слагаемого функции \( f(x) \):
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \]
3. Сложить производные каждого слагаемого:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2} x^{-1/2} \]
4. Переписать производную в более удобном виде:
\[ f'(x) = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Решение №7062: Для нахождения производной функции \( f(x) = x\sqrt{x} - (\sqrt{x})^{2/3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать функцию \( f(x) \) в более удобном виде:
\[ f(x) = x \cdot x^{1/2} - (x^{1/2})^{2/3} = x^{3/2} - x^{1/3} \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) - \frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right) \]
3. Использовать правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2} x^{1/2} \] \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right) = \frac{1}{3} x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3} x^{-2/3} \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2} - \frac{1}{3} x^{-2/3} \]
5. Переписать производную в более удобном виде:
\[ f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x^{-2/3} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{3}x^{-2/3}\)

Решение №7064: Для нахождения производной функции \( f(x) = x \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перепишем функцию в более удобной форме:
\[ f(x) = x \cdot x^{2/3} \cdot x^{1/5} \]
2. Объединим все степени \( x \):
\[ f(x) = x^{1 + 2/3 + 1/5} \]
3. Найдем общую степень:
\[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15}{15} + \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{28}{15} \]
4. Таким образом, функция принимает вид:
\[ f(x) = x^{28/15} \]
5. Найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{28/15} \right) \]
6. Используем правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n x^{n-1} \):
\[ f'(x) = \frac{28}{15} x^{28/15 - 1} = \frac{28}{15} x^{28/15 - 15/15} = \frac{28}{15} x^{13/15} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{28}{15}x^{\frac{13}{15}}\)

Решение №7065: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упростить функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = x^{3/4} \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/4} \right) \]
3. Применить правило дифференцирования степенной функции:
\[ \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = nx^{n-1} \] где \( n = \frac{3}{4} \).
4. Подставить значение \( n \) в формулу:
\[ f'(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}} \]
5. Упростить выражение для производной:
\[ f'(x) = \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}\)

Решение №7066: Для нахождения производной функции \( f(x) = x \cdot \sqrt[4]{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать функцию \( f(x) \) в более удобной форме:
\[ f(x) = x \cdot x^{1/4} = x^{1 + 1/4} = x^{5/4} \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{5/4}) \]
3. Применить правило дифференцирования для степенной функции \( x^n \):
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \]
4. Подставить \( n = \frac{5}{4} \):
\[ f'(x) = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}} \]
5. Переписать результат в исходной форме:
\[ f'(x) = \frac{5}{4} \sqrt[4]{x} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}\)

Решение №7067: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать функцию в более удобной форме:
\[ f(x) = x^{-1} + x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{3}} \]
2. Найти производную каждого слагаемого отдельно:
3. Для первого слагаемого \( x^{-1} \):
\[ \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} \]
4. Для второго слагаемого \( x^{-\frac{1}{2}} \):
\[ \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \]
5. Для третьего слагаемого \( x^{-\frac{1}{3}} \):
\[ \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{3}}) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} \]
6. Сложить производные всех слагаемых:
\[ f'(x) = -x^{-2} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} \]
7. Переписать производную в более привычной форме:
\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x^3}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}\)

Решение №7070: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить каждое слагаемое через степени \( x \):
\[ f(x) = 2x^{-1} + 3x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{2}{3}} \]
2. Найти производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}(2x^{-1}) = 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -2x^{-2} \] \[ \frac{d}{dx}(3x^{-\frac{1}{2}}) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} \] \[ \frac{d}{dx}(x^{-\frac{2}{3}}) = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} \]
3. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = -2x^{-2} - \frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} \]
4. Переписать производные в исходном виде:
\[ f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{2\sqrt{x^3}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}-\frac{2}{3}\frac{1}{x\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Решение №7071: Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перепишем функцию \( f(x) \) в более удобной форме:
\[ f(x) = x^{2/3} - 2x^{-1/2} \]
2. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
3. Найдем производную первого слагаемого \( x^{2/3} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( x^{2/3} \right) = \frac{2}{3} x^{-1/3} \]
4. Найдем производную второго слагаемого \( -2x^{-1/2} \):
\[ \frac{d}{dx} \left( -2x^{-1/2} \right) = -2 \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-3/2} = x^{-3/2} \]
5. Сложим производные слагаемых:
\[ f'(x) = \frac{2}{3} x^{-1/3} + x^{-3/2} \]
6. Перепишем производные в более привычной форме:
\[ f'(x) = \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt{x^3}} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{x\sqrt{x}}; x> 0\)

Решение №13321: Для нахождения производной функции \( f(x) = x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить функцию:
\[ f(x) = x \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \]
3. Использовать правило дифференцирования для линейной функции:
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]
4. Записать окончательный результат:
\[ f'(x) = 1 \]

Ответ: \(f^{'}(x)=1\)

Решение №13323: Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x}{2} - 3 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} - 3\right) \]
2. Применить правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{d}{dx}(3) \]
3. Найти производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \] \[ \frac{d}{dx}(3) = 0 \]
4. Сложить полученные производные:
\[ f'(x) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \]

Ответ: \(f^{'}(x)=\frac{1}{2}\)

Решение №13327: Для нахождения производной функции \( f(x) = -\frac{8}{7}x + \frac{3}{2} \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{8}{7}x + \frac{3}{2}\right) \] 2. Применить правило дифференцирования для каждого слагаемого: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{8}{7}x\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}\right) \] 3. Производная от линейной функции \( -\frac{8}{7}x \) равна коэффициенту при \( x \): \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{8}{7}x\right) = -\frac{8}{7} \] 4. Производная от константы \( \frac{3}{2} \) равна нулю: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}\right) = 0 \] 5. Сложить полученные результаты: \[ f'(x) = -\frac{8}{7} + 0 = -\frac{8}{7} \] Ответ: Производная функции \( f(x) = -\frac{8}{7}x + \frac{3}{2} \) равна \( -\frac{8}{7} \).

Ответ: \(f^{'}(x)=-\frac{8}{7}\)