№7070

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, производная степенных функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{2}{x^{2}}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}-\frac{2}{3}\frac{1}{x\sqrt[3]{x^{2}}}\)

Решение № 7070:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Выразить каждое слагаемое через степени \( x \): </li> \[ f(x) = 2x^{-1} + 3x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{2}{3}} \] <li> Найти производную каждого слагаемого: </li> \[ \frac{d}{dx}(2x^{-1}) = 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -2x^{-2} \] \[ \frac{d}{dx}(3x^{-\frac{1}{2}}) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} \] \[ \frac{d}{dx}(x^{-\frac{2}{3}}) = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} \] <li> Сложить полученные производные: </li> \[ f'(x) = -2x^{-2} - \frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} \] <li> Переписать производные в исходном виде: </li> \[ f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{2\sqrt{x^3}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{2\sqrt{x^3}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} \]