№7067

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, производная степенных функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}\)

Решение № 7067:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Переписать функцию в более удобной форме: </li> \[ f(x) = x^{-1} + x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{3}} \] <li> Найти производную каждого слагаемого отдельно: </li> <li> Для первого слагаемого \( x^{-1} \): </li> \[ \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} \] <li> Для второго слагаемого \( x^{-\frac{1}{2}} \): </li> \[ \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \] <li> Для третьего слагаемого \( x^{-\frac{1}{3}} \): </li> \[ \frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{3}}) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} \] <li> Сложить производные всех слагаемых: </li> \[ f'(x) = -x^{-2} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} \] <li> Переписать производную в более привычной форме: </li> \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x^3}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2\sqrt{x^3}} - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} \]