№7062

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, производная степенных функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=x\sqrt{x}-(\sqrt{x})^{2/3}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{3}x^{-2/3}\)

Решение № 7062:

Для нахождения производной функции \( f(x) = x\sqrt{x} - (\sqrt{x})^{2/3} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Переписать функцию \( f(x) \) в более удобном виде: </li> \[ f(x) = x \cdot x^{1/2} - (x^{1/2})^{2/3} = x^{3/2} - x^{1/3} \] <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) - \frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right) \] <li> Использовать правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \): </li> \[ \frac{d}{dx} \left( x^{3/2} \right) = \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2} x^{1/2} \] \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/3} \right) = \frac{1}{3} x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3} x^{-2/3} \] <li> Сложить полученные производные: </li> \[ f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2} - \frac{1}{3} x^{-2/3} \] <li> Переписать производную в более удобном виде: </li> \[ f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x^{-2/3} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x^{-2/3} \]