№7064

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, производная степенных функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=x\sqrt[3]{x^{2}}\cdot \sqrt[5]{x}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{28}{15}x^{\frac{13}{15}}\)

Решение № 7064:

Для нахождения производной функции \( f(x) = x \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Перепишем функцию в более удобной форме: </li> \[ f(x) = x \cdot x^{2/3} \cdot x^{1/5} \] <li> Объединим все степени \( x \): </li> \[ f(x) = x^{1 + 2/3 + 1/5} \] <li> Найдем общую степень: </li> \[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15}{15} + \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{28}{15} \] <li> Таким образом, функция принимает вид: </li> \[ f(x) = x^{28/15} \] <li> Найдем производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{28/15} \right) \] <li> Используем правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n x^{n-1} \): </li> \[ f'(x) = \frac{28}{15} x^{28/15 - 1} = \frac{28}{15} x^{28/15 - 15/15} = \frac{28}{15} x^{13/15} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции: \( f'(x) = \frac{28}{15} x^{13/15} \)