№7065

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, производная степенных функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производные\(f(x)=\sqrt{x\sqrt{x}}\)

Ответ

\(f^{'}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}\)

Решение № 7065:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Упростить функцию \( f(x) \): </li> \[ f(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = x^{3/4} \] <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{3/4} \right) \] <li> Применить правило дифференцирования степенной функции: </li> \[ \frac{d}{dx} \left( x^n \right) = nx^{n-1} \] где \( n = \frac{3}{4} \). <li> Подставить значение \( n \) в формулу: </li> \[ f'(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}} \] <li> Упростить выражение для производной: </li> \[ f'(x) = \frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \] </ol> Ответ: <br> Производная функции \( f(x) = \sqrt{x \sqrt{x}} \) равна: \[ f'(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \]