Задача №3071

№3071

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каком значении \(a\) прямая \(y=4x+a\) является касательной к графику \(y=\frac{4^{x}-2^{x+1}}{ln2}\)

Ответ

\(a=4\left ( \frac{2}{ln2}-1 \right )\)

Решение № 3071:

Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = 4x + a \) является касательной к графику функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \right) \] <br> Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ \frac{d}{dx} (4^x) = 4^x \ln 4 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx} (2^{x+1}) = 2^{x+1} \ln 2 \] <br> Подставляем эти производные: \[ y' = \frac{4^x \ln 4 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} \] <br> Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{4^x \cdot 2 \ln 2 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} = 4^x \cdot 2 - 2^{x+1} \] <br> \[ y' = 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x = 2 \cdot (4^x - 2^x) \] </li> <li> Условие касания: производная функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке касания должна быть равна угловому коэффициенту прямой \( y = 4x + a \): </li> \[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \] <br> Решим это уравнение относительно \( x_0 \): \[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \implies 4^{x_0} - 2^{x_0} = 2 \] <br> \[ (2^{x_0})^2 - 2^{x_0} - 2 = 0 \] <br> Решим это квадратное уравнение: \[ t = 2^{x_0} \] <br> \[ t^2 - t - 2 = 0 \] <br> \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] <br> Получаем два корня: \[ t_1 = 2 \quad \text{и} \quad t_2 = -1 \] <br> Так как \( t = 2^{x_0} \) и \( 2^{x_0} \) всегда положительно, то: \[ 2^{x_0} = 2 \implies x_0 = 1 \] </li> <li> Найти значение функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке \( x_0 = 1 \): </li> \[ y(1) = \frac{4^1 - 2^{1+1}}{\ln 2} = \frac{4 - 4}{\ln 2} = 0 \] </li> <li> Подставить найденные значения \( x_0 \) и \( y(x_0) \) в уравнение прямой \( y = 4x + a \): </li> \[ 0 = 4 \cdot 1 + a \implies 0 = 4 + a \implies a = -4 \] </li> </ol> Ответ: <br> Значение \( a \): \( a = -4 \)

Поделиться в социальных сетях

Комментарии (0)