№3068

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каком значении \(a\) прямая \(y=ax\) является касательной к графику \(y=e^{x-1}-3x\)

Ответ

-2

Решение № 3068:

Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = ax \) является касательной к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции \( y = e^{x-1} - 3x \):** \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{x-1} - 3x) = e^{x-1} - 3 \] 2. **Предположить, что касательная к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \) в точке \( (x_0, y_0) \) имеет угол наклона \( a \):** \[ a = e^{x_0-1} - 3 \] 3. **Найти координаты точки касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = e^{x_0-1} - 3x_0 \] 4. **Использовать уравнение прямой \( y = ax \), проходящей через точку касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = a x_0 \] Подставим \( y_0 \) и \( a \) из предыдущих шагов: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = (e^{x_0-1} - 3)x_0 \] 5. **Решить уравнение для нахождения \( x_0 \):** \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] Упростим уравнение: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] \[ e^{x_0-1} = e^{x_0-1}x_0 \] \[ e^{x_0-1}(1 - x_0) = 0 \] Поскольку \( e^{x_0-1} \neq 0 \), имеем: \[ 1 - x_0 = 0 \implies x_0 = 1 \] 6. **Найти значение \( a \) при \( x_0 = 1 \):** \[ a = e^{1-1} - 3 = e^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \] Ответ: <br> Значение \( a \): \( -2 \)