Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{4}{3}x^{3}-4x\) на отрезке \([0;2]\)
Решение №3093: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{4}{3}x^3 - 4x \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3 - 4x\right) = 4x^2 - 4
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
4x^2 - 4 = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
4x^2 - 4 = 0 \implies
\]
-
\[
4x^2 = 4 \implies
\]
-
\[
x^2 = 1 \implies
\]
-
\[
x = \pm 1
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[
x = 1 \quad \text{(попадает в отрезок \([0; 2]\))}
\]
\[
x = -1 \quad \text{(не попадает в отрезок \([0; 2]\))}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0
\]
\[
y(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3}
\]
\[
y(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{4}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{8}{3}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
\text{Наибольшее значение: } y(2) = \frac{8}{3}
\]
\[
\text{Наименьшее значение: } y(1) = -\frac{8}{3}
\]
Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{8}{3} \)
Наименьшее значение: \( -\frac{8}{3} \)
Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{8}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-\frac{8}{3}
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-2x^{3}-3x^{2}-36x+10\) на отрезке \([-5;4]\)
Решение №3097: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 3x^2 - 36x + 10 \) на отрезке \([-5; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 3x^2 - 36x + 10) = -6x^2 - 6x - 36
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-6x^2 - 6x - 36 = 0
\]
-
Упростить уравнение, разделив на \(-6\):
\[
x^2 + x + 6 = 0
\]
-
Решить квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
-
Подставить значения \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 6 \):
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2}
\]
-
Поскольку дискриминант отрицателен ( \( \sqrt{-23} \) ), уравнение не имеет реальных корней. Следовательно, критических точек внутри отрезка нет.
-
Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[
y(-5) = -2(-5)^3 - 3(-5)^2 - 36(-5) + 10 = -2(-125) - 3(25) + 180 + 10 = 250 - 75 + 180 + 10 = 365
\]
\[
y(4) = -2(4)^3 - 3(4)^2 - 36(4) + 10 = -2(64) - 3(16) - 144 + 10 = -128 - 48 - 144 + 10 = -310
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
\text{Наибольшее значение: } y(-5) = 365
\]
\[
\text{Наименьшее значение: } y(4) = -310
\]
Ответ:
Наибольшее значение: \( 365 \)
Наименьшее значение: \( -310 \)
Ответ: \underset{[-5;4]}{max} y(x)=54; \underset{[-5;4]}{min} y(x)=-71
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1)\) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]\)
Решение №3098: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) \) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) = x^{2/3}(x-1)
\]
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(x^{2/3}(x-1)\right)
\]
Используем правило произведения:
\[
y' = \left(x^{2/3}\right)'(x-1) + x^{2/3}(x-1)'
\]
\[
y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3}
\]
\[
y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3}
\]
\[
y' = \frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + x^{2/3}
\]
\[
y' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} = 0
\]
Умножим обе части на \( 3x^{1/3} \):
\[
5x - 2 = 0
\]
\[
5x = 2
\]
\[
x = \frac{2}{5}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\):
Критическая точка \( x = \frac{2}{5} \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{1000}\right)^2}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(-\frac{999}{1000}\right) = -\frac{999}{100000}
\]
\[
y\left(\frac{2}{5}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}
\]
\[
y(1) = \sqrt[3]{1^2}(1-1) = 0
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{999}{100000}
\]
\[
y\left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}
\]
\[
y(1) = 0
\]
-
Наибольшее значение: \( 0 \)
-
Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 0 \)
Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)
Ответ: \underset{\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]}{max} y(x)=0; \underset{[ \frac{1}{1000};1 \right ]}{min} y(x)=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\sqrt{x^{2}-x-2}\) на отрезке \([3;5]\)
Решение №3404: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \) на отрезке \([3; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - x - 2} \right)
\]
-
Используем правило дифференцирования корня:
\[
y' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - x - 2)
\]
-
Найдем производную внутренней функции:
\[
\frac{d}{dx} (x^2 - x - 2) = 2x - 1
\]
-
Подставим в формулу производной корня:
\[
y' = \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x - 2}} = 0
\]
-
Решим уравнение:
\[
2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([3; 5]\):
\[
x = \frac{1}{2} \text{ не попадает в отрезок } [3; 5]
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[
y(3) = \sqrt{3^2 - 3 - 2} = \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2
\]
\[
y(5) = \sqrt{5^2 - 5 - 2} = \sqrt{25 - 5 - 2} = \sqrt{18} \approx 4.24
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
\[
\text{Наименьшее значение: } y(3) = 2
\]
Ответ:
Наименьшее значение: \( 2 \)
Ответ: 2
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=2\cdot 3^{3x}-4\cdot 2^{2x}+2\cdot 3^{x}\) на отрезке \([-1;1]\)
Решение №3409: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \cdot 3^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 3^x \right)
\]
\[
y' = 6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3)
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
6 \cdot 3^{3x} \ln(3) - 8 \cdot 2^{2x} \ln(2) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 0
\]
-
Упростить уравнение:
\[
6 \cdot 3^{3x} \ln(3) + 2 \cdot 3^x \ln(3) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2)
\]
\[
\ln(3) (6 \cdot 3^{3x} + 2 \cdot 3^x) = 8 \cdot 2^{2x} \ln(2)
\]
\[
3^x (6 \cdot 3^{2x} + 2) = \frac{8 \cdot 2^{2x} \ln(2)}{\ln(3)}
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
Это уравнение сложно решить аналитически, поэтому можно использовать численные методы или графики для нахождения критических точек.
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-1) = 2 \cdot 3^{-3} - 4 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 3^{-1} = \frac{2}{27} - \frac{4}{4} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - \frac{27}{27} + \frac{18}{27} = \frac{2 - 27 + 18}{27} = \frac{-7}{27}
\]
\[
y(1) = 2 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^1 = 2 \cdot 27 - 4 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 54 - 16 + 6 = 44
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке.
Наименьшее значение: \( y(-1) = -\frac{7}{27} \)
Ответ:
Наименьшее значение: \( -\frac{7}{27} \)
Ответ: 0
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=cos3x-15cosx+8\) на отрезке \(\left [ \frac{\pi }{3};\frac{3\pi }{2}\right ]\)
Решение №3411: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \cos(3x) - 15 \cos(x) + 8 \) на отрезке \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx} (\cos(3x) - 15 \cos(x) + 8)
\]
\[
y' = -3 \sin(3x) \cdot 3 + 15 \sin(x)
\]
\[
y' = -9 \sin(3x) + 15 \sin(x)
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0
\]
-
Приравнять уравнение к нулю и решить его:
\[
-9 \sin(3x) + 15 \sin(x) = 0
\]
\[
9 \sin(3x) = 15 \sin(x)
\]
\[
\sin(3x) = \frac{15}{9} \sin(x)
\]
\[
\sin(3x) = \frac{5}{3} \sin(x)
\]
-
Использовать формулу для синуса тройного угла:
\[
\sin(3x) = 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x)
\]
\[
3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x)
\]
-
Решить уравнение относительно \( \sin(x) \):
\[
3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) = \frac{5}{3} \sin(x)
\]
\[
3 \sin(x) - \frac{5}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x)
\]
\[
\left(3 - \frac{5}{3}\right) \sin(x) = 4 \sin^3(x)
\]
\[
\frac{4}{3} \sin(x) = 4 \sin^3(x)
\]
\[
\sin(x) = 3 \sin^3(x)
\]
\[
\sin(x) (1 - 3 \sin^2(x)) = 0
\]
-
Решить уравнение:
\[
\sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 3 \sin^2(x) = 0
\]
\[
\sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin^2(x) = \frac{1}{3}
\]
\[
\sin(x) = 0 \quad \text{или} \quad \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
-
Найти соответствующие значения \( x \) в пределах отрезка \(\left[ \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right]\):
\[
\sin(x) = 0 \implies x = \pi
\]
\[
\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3}
\]
\[
\sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{5\pi}{6}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) - 15 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 8 = \cos(\pi) - 15 \cdot \frac{1}{2} + 8 = -1 - 7.5 + 8 = -0.5
\]
\[
y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) - 15 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + 8 = \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) - 15 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 8 = 0 + \frac{15\sqrt{3}}{2} + 8
\]
\[
y(\pi) = \cos(3\pi) - 15 \cos(\pi) + 8 = -1 - 15 \cdot (-1) + 8 = -1 + 15 + 8 = 22
\]
\[
y\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(3 \cdot \frac{3\pi}{2}\right) - 15 \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 8 = \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) - 15 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -0.5 \)
Ответ:
Наименьшее значение: \( -0.5 \)
Ответ: -0.5
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\frac{2}{1+\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )}\) на отрезке \(\left [0;\frac{\pi }{2} \right ]\)
Решение №3412: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Исследовать поведение функции \( y \) на заданном отрезке.
-
Рассмотрим функцию \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \).
-
Определим диапазон значений \( x + \frac{\pi}{4} \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\):
\[
x + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]
\]
-
Найдем диапазон значений \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) на этом интервале:
\[
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}\right); \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]
\]
\[
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
-
Таким образом, \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) принимает значения в диапазоне:
\[
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[\frac{\sqrt{2}}{2}; 1\right]
\]
-
Теперь найдем диапазон значений \( 1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \):
\[
1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}; 1 + \sqrt{2} \cdot 1\right]
\]
\[
1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[1 + 1; 1 + \sqrt{2}\right]
\]
\[
1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \in \left[2; 1 + \sqrt{2}\right]
\]
-
Теперь найдем диапазон значений функции \( y \):
\[
y = \frac{2}{1 + \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; \frac{2}{2}\right]
\]
\[
y \in \left[\frac{2}{1 + \sqrt{2}}; 1\right]
\]
-
Наименьшее значение функции \( y \) на отрезке \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\):
\[
y_{\min} = \frac{2}{1 + \sqrt{2}}
\]
Ответ:
Наименьшее значение функции: \( \frac{2}{1 + \sqrt{2}} \)
Ответ: \frac{2}{1+\sqrt{2}}
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=\frac{1}{ln2}(2^{x}+2^{-x})\) на отрезке \([-1;2]\)
Решение №3421: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x}) \) на отрезке \([-1; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\ln 2}(2^x + 2^{-x})\right)
\]
-
Применим правило производной суммы и цепного правила:
\[
y' = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{d}{dx}(2^x) + \frac{d}{dx}(2^{-x}) \right)
\]
-
Найдем производные каждого слагаемого:
\[
\frac{d}{dx}(2^x) = 2^x \ln 2
\]
\[
\frac{d}{dx}(2^{-x}) = 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = -2^{-x} \ln 2
\]
-
Подставим производные обратно в выражение для \( y' \):
\[
y' = \frac{1}{\ln 2} \left( 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 \right)
\]
\[
y' = 2^x - 2^{-x}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
2^x - 2^{-x} = 0
\]
-
Решим уравнение относительно \( x \):
\[
2^x = 2^{-x}
\]
-
Подставим \( u = 2^x \):
\[
u = \frac{1}{u}
\]
\[
u^2 = 1
\]
\[
u = \pm 1
\]
-
Так как \( u = 2^x > 0 \), то \( u = 1 \):
\[
2^x = 1 \implies x = 0
\]
-
Проверим, попадает ли критическая точка \( x = 0 \) в отрезок \([-1; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-1; 2]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-1) = \frac{1}{\ln 2}(2^{-1} + 2^1) = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2 \ln 2}
\]
\[
y(0) = \frac{1}{\ln 2}(2^0 + 2^0) = \frac{1}{\ln 2}(1 + 1) = \frac{2}{\ln 2}
\]
\[
y(2) = \frac{1}{\ln 2}(2^2 + 2^{-2}) = \frac{1}{\ln 2}\left(4 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{17}{4} = \frac{17}{4 \ln 2}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[
y(-1) = \frac{5}{2 \ln 2} \approx 3.608
\]
\[
y(0) = \frac{2}{\ln 2} \approx 2.885
\]
\[
y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \approx 5.983
\]
-
Наибольшее значение: \( y(2) = \frac{17}{4 \ln 2} \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{17}{4 \ln 2} \)
Ответ: 17/(4ln2)
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=-x^{2}+7|x|-12\) на отрезке \([-4;3]\)
Решение №3426: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Рассмотрим функцию \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \). Для этого разделим функцию на два случая в зависимости от знака \( x \):
-
Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \):
\[
y = -x^2 + 7x - 12
\]
-
Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \):
\[
y = -x^2 - 7x - 12
\]
-
Найдем производные функций для каждого случая:
-
Для \( x \geq 0 \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 7x - 12) = -2x + 7
\]
-
Для \( x < 0 \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 7x - 12) = -2x - 7
\]
-
Найдем критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \):
-
Для \( x \geq 0 \):
\[
-2x + 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]
-
Для \( x < 0 \):
\[
-2x - 7 = 0 \implies -2x = 7 \implies x = -\frac{7}{2}
\]
-
Проверим, какие из критических точек попадают в отрезок \([-4; 3]\):
-
\( x = \frac{7}{2} \) не попадает в отрезок \([-4; 3]\).
-
\( x = -\frac{7}{2} \) попадает в отрезок \([-4; 3]\).
-
Вычислим значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
-
Для \( x = -4 \):
\[
y(-4) = -(-4)^2 - 7(-4) - 12 = -16 + 28 - 12 = 0
\]
-
Для \( x = -\frac{7}{2} \):
\[
y\left(-\frac{7}{2}\right) = -\left(-\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(-\frac{7}{2}\right) - 12 = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 12 = -\frac{49}{4} + \frac{98}{4} - \frac{48}{4} = \frac{1}{4}
\]
-
Для \( x = 3 \):
\[
y(3) = -3^2 + 7(3) - 12 = -9 + 21 - 12 = 0
\]
-
Сравним полученные значения и определим наибольшее значение функции на отрезке:
-
\( y(-4) = 0 \)
-
\( y\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{1}{4} \)
-
\( y(3) = 0 \)
-
Наибольшее значение функции на отрезке \([-4; 3]\) равно \( \frac{1}{4} \).
Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{1}{4} \)
Ответ: 0.25
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=4x^{3}-x|x-2|\) на отрезке \([0;3]\)
Решение №3427: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 4x^3 - x|x - 2| \) на отрезке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( |x - 2| \):
\[
y =
\begin{cases}
4x^3 - x(x - 2) & \text{если } x \geq 2 \\
4x^3 + x(x - 2) & \text{если } x < 2
\end{cases}
\]
-
Рассмотрим случай \( x \geq 2 \):
\[
y = 4x^3 - x(x - 2) = 4x^3 - x^2 + 2x
\]
Найдем производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - x^2 + 2x) = 12x^2 - 2x + 2
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
12x^2 - 2x + 2 = 0
\]
Это уравнение не имеет реальных корней, так как дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) отрицателен:
\[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 2 = 4 - 96 = -92
\]
Следовательно, на этом интервале нет критических точек.
-
Рассмотрим случай \( x < 2 \):
\[
y = 4x^3 + x(x - 2) = 4x^3 + x^2 - 2x
\]
Найдем производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(4x^3 + x^2 - 2x) = 12x^2 + 2x - 2
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
12x^2 + 2x - 2 = 0
\]
Решим это квадратное уравнение:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2)}}{2 \cdot 12} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{24} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{24} = \frac{-2 \pm 10}{24}
\]
Получаем два корня:
\[
x_1 = \frac{-2 + 10}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{-2 - 10}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}
\]
Критическая точка \( x = -\frac{1}{2} \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = \frac{1}{3} \) попадает.
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = 4(0)^3 + (0)^2 - 2(0) = 0
\]
\[
y(3) = 4(3)^3 - 3(3 - 2) = 4 \cdot 27 - 3 = 108 - 3 = 105
\]
\[
y\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = \frac{7}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(3) = 105 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 105 \)
Ответ: 105
Найти наименьшее значение функции \(y=(5-2x)^{3}(5-4x)\) на промежутке\( (2; +\infty]\)
Решение №3438: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (5 - 2x)^3(5 - 4x) \) на промежутке \( (2; +\infty] \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = (5 - 2x)^3(5 - 4x)
\]
Применим правило произведения для нахождения производной:
\[
y' = (5 - 2x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(5 - 4x) + (5 - 4x) \cdot \frac{d}{dx}(5 - 2x)^3
\]
\[
y' = (5 - 2x)^3 \cdot (-4) + (5 - 4x) \cdot 3(5 - 2x)^2 \cdot (-2)
\]
\[
y' = -4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-4(5 - 2x)^3 - 6(5 - 4x)(5 - 2x)^2 = 0
\]
Вынесем \( (5 - 2x)^2 \) за скобки:
\[
(5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0
\]
\[
(5 - 2x)^2 \left[ -4(5 - 2x) - 6(5 - 4x) \right] = 0
\]
\[
(5 - 2x)^2 \left[ -20 + 8x - 30 + 24x \right] = 0
\]
\[
(5 - 2x)^2 \left[ -50 + 32x \right] = 0
\]
Решим уравнение \( (5 - 2x)^2 = 0 \):
\[
5 - 2x = 0 \implies x = \frac{5}{2}
\]
Решим уравнение \( -50 + 32x = 0 \):
\[
32x = 50 \implies x = \frac{50}{32} = \frac{25}{16}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в промежуток \( (2; +\infty] \):
\[
x = \frac{5}{2} \approx 2.5 \quad \text{(попадает)}
\]
\[
x = \frac{25}{16} \approx 1.5625 \quad \text{(не попадает)}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах промежутка:
\[
y\left(\frac{5}{2}\right) = \left(5 - 2 \cdot \frac{5}{2}\right)^3 \left(5 - 4 \cdot \frac{5}{2}\right) = (5 - 5)^3 (5 - 10) = 0^3 (-5) = 0
\]
\[
y(2) = (5 - 2 \cdot 2)^3 (5 - 4 \cdot 2) = (5 - 4)^3 (5 - 8) = 1^3 (-3) = -3
\]
\[
y(+\infty) = (5 - 2 \cdot \infty)^3 (5 - 4 \cdot \infty) \rightarrow -\infty
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на промежутке:
Наименьшее значение: \( y(+\infty) = -\infty \)
Ответ:
Наименьшее значение: \( -\infty \)
Ответ: -3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=x+\frac{4}{(x-2)^{2}}\) на отрезке \([0;5]\)
Решение №6958: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x + \frac{4}{(x-2)^2} \) на отрезке \([0; 5]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{4}{(x-2)^2} \right)
\]
\[
y' = 1 + \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{(x-2)^2} \right)
\]
\[
y' = 1 + 4 \cdot \frac{d}{dx} \left( (x-2)^{-2} \right)
\]
\[
y' = 1 + 4 \cdot (-2) \cdot (x-2)^{-3} \cdot \frac{d}{dx} (x-2)
\]
\[
y' = 1 - 8 \cdot (x-2)^{-3}
\]
\[
y' = 1 - \frac{8}{(x-2)^3}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
1 - \frac{8}{(x-2)^3} = 0
\]
\[
\frac{8}{(x-2)^3} = 1
\]
\[
(x-2)^3 = 8
\]
\[
x-2 = 2
\]
\[
x = 4
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 5]\):
Критическая точка \( x = 4 \) попадает в отрезок \([0; 5]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = 0 + \frac{4}{(0-2)^2} = 0 + \frac{4}{4} = 1
\]
\[
y(4) = 4 + \frac{4}{(4-2)^2} = 4 + \frac{4}{4} = 5
\]
\[
y(5) = 5 + \frac{4}{(5-2)^2} = 5 + \frac{4}{9} = 5 + \frac{4}{9} = 5.444\ldots
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
y(0) = 1
\]
\[
y(4) = 5
\]
\[
y(5) = 5.444\ldots
\]
-
Наибольшее значение: \( y(5) = 5.444\ldots \)
-
Наименьшее значение: \( y(0) = 1 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 5.444\ldots \)
Наименьшее значение: \( 1 \)
Ответ: \underset{[0;5]}{max} y(x) не существует; \underset{[0;5]}{max} y(x) ; \underset{[0;5]}{min} y(x)=1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=2\sqrt{x}-x\) на отрезке \([0;9]\)
Решение №6959: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) на отрезке \([0; 9]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
\frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 9]\):
Критическая точка \( x = 1 \) попадает в отрезок \([0; 9]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = 2\sqrt{0} - 0 = 0
\]
\[
y(1) = 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1
\]
\[
y(9) = 2\sqrt{9} - 9 = 2 \cdot 3 - 9 = 6 - 9 = -3
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(1) = 1 \)
Наименьшее значение: \( y(9) = -3 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 1 \)
Наименьшее значение: \( -3 \)
Ответ: \underset{[0;9]}{max} y(x)=1; \underset{[0;9]}{min} y(x)=-3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+1\) на отрезке \([-1;1]\)
Решение №6960: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1\right) = x^2 - 3x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
x^2 - 3x = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
x(x - 3) = 0
\]
\[
x_1 = 0
\]
\[
x_2 = 3
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\):
\[
x = 0 \text{ попадает в отрезок } [-1; 1]
\]
\[
x = 3 \text{ не попадает в отрезок } [-1; 1]
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{7}{6}
\]
\[
y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 1 = 1
\]
\[
y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} = -\frac{1}{6}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
\text{Наибольшее значение: } y(0) = 1
\]
\[
\text{Наименьшее значение: } y(-1) = -\frac{7}{6}
\]
Ответ:
Наибольшее значение: \( 1 \)
Наименьшее значение: \( -\frac{7}{6} \)
Ответ: \underset{[-1;1]}{max} y(x)=1; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-\frac{1}{6}
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-3x^{3}-9x^{2}+3\) на отрезке \([-1;1]\)
Решение №6961: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -3x^3 - 9x^2 + 3 \) на отрезке \([-1; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-3x^3 - 9x^2 + 3) = -9x^2 - 18x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-9x^2 - 18x = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
-9x(x + 2) = 0
\]
-
Получаем два корня:
\[
x_1 = 0
\]
\[
x_2 = -2
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-1; 1]\):
Критическая точка \( x = -2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\), а точка \( x = 0 \) попадает.
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-1) = -3(-1)^3 - 9(-1)^2 + 3 = 3 - 9 + 3 = -3
\]
\[
y(0) = -3(0)^3 - 9(0)^2 + 3 = 3
\]
\[
y(1) = -3(1)^3 - 9(1)^2 + 3 = -3 - 9 + 3 = -9
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
y(-1) = -3
\]
\[
y(0) = 3
\]
\[
y(1) = -9
\]
-
Наибольшее значение: \( y(0) = 3 \)
-
Наименьшее значение: \( y(1) = -9 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 3 \)
Наименьшее значение: \( -9 \)
Ответ: \underset{[-1;1]}{max} y(x)=3; \underset{[-1;1]}{min} y(x)=-9
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{x}{8}+\frac{2}{x}\) на отрезке \([1;6]\)
Решение №6963:
-
Найти производную функции \( y = \frac{x}{8} + \frac{2}{x} \):
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{8} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
\frac{1}{8} = \frac{2}{x^2}
\]
-
Умножим обе части уравнения на \( 8x^2 \):
\[
x^2 = 16
\]
-
Возьмем корень из обеих сторон:
\[
x = \pm 4
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([1; 6]\):
\[
x = 4 \quad \text{(попадает в отрезок)}
\]
\[
x = -4 \quad \text{(не попадает в отрезок)}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{1}{8} + \frac{16}{8} = \frac{17}{8}
\]
\[
y(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]
\[
y(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
y(1) = \frac{17}{8} = 2.125
\]
\[
y(4) = 1
\]
\[
y(6) = \frac{13}{12} \approx 1.083
\]
-
Наибольшее значение: \( y(1) = \frac{17}{8} \)
-
Наименьшее значение: \( y(4) = 1 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{17}{8} \)
Наименьшее значение: \( 1 \)
Ответ: \underset{[1;6]}{max} y(x)=2\frac{1}{8}; \underset{[1;6]}{min} y(x)=1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-x^{4}+2x^{2}+3\) на отрезке \([-2;2]\)
Решение №6967: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-4x^3 + 4x = 0
\]
-
Вынести общий множитель:
\[
4x(1 - x^2) = 0
\]
-
Разделить уравнение на два уравнения:
\[
4x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x^2 = 0
\]
-
Решить уравнения относительно \( x \):
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
\]
-
Полученные критические точки:
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-2) = -(-2)^4 + 2(-2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5
\]
\[
y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
\]
\[
y(0) = -0^4 + 2(0)^2 + 3 = 3
\]
\[
y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
\]
\[
y(2) = -(2)^4 + 2(2)^2 + 3 = -16 + 8 + 3 = -5
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(-1) = 4 \) и \( y(1) = 4 \)
Наименьшее значение: \( y(-2) = -5 \) и \( y(2) = -5 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 4 \)
Наименьшее значение: \( -5 \)
Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=4; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-5
Выписать производную в заданной точке (точках) \(x_{0}\)\(f(x)=2(3+2x)^{1/4}+3^{-x}\frac{2}{ln3}, x_{0}=-1\)
Решение №7275: Для нахождения производной функции \( f(x) = 2(3 + 2x)^{1/4} + 3^{-x}\frac{2}{\ln 3} \) в точке \( x_0 = -1 \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(2(3 + 2x)^{1/4} + 3^{-x}\frac{2}{\ln 3}\right)
\]
-
Рассмотрим каждую часть функции отдельно и найдем их производные:
\[
\frac{d}{dx}\left(2(3 + 2x)^{1/4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4}(3 + 2x)^{-3/4} \cdot 2 = (3 + 2x)^{-3/4}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left(3^{-x}\frac{2}{\ln 3}\right) = \frac{2}{\ln 3} \cdot \frac{d}{dx}(3^{-x}) = \frac{2}{\ln 3} \cdot (-\ln 3) \cdot 3^{-x} = -2 \cdot 3^{-x}
\]
-
Соединим производные обеих частей:
\[
f'(x) = (3 + 2x)^{-3/4} - 2 \cdot 3^{-x}
\]
-
Подставим \( x_0 = -1 \) в найденную производную:
\[
f'(-1) = (3 + 2(-1))^{-3/4} - 2 \cdot 3^{-(-1)}
\]
\[
f'(-1) = (3 - 2)^{-3/4} - 2 \cdot 3^1
\]
\[
f'(-1) = 1^{-3/4} - 2 \cdot 3
\]
\[
f'(-1) = 1 - 6
\]
\[
f'(-1) = -5
\]
Ответ:
Производная функции в точке \( x_0 = -1 \) равна \( -5 \).
Ответ: -5
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=\sqrt{100-x^{2}}\) на отрезке \([-6;8]\)
Решение №7276: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = \sqrt{100 - x^2} \) на отрезке \([-6; 8]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Записать функцию:
\[
y = \sqrt{100 - x^2}
\]
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{100 - x^2} \right)
\]
Используем правило дифференцирования корня:
\[
y' = \frac{1}{2 \sqrt{100 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0
\]
\[
-x = 0 \implies x = 0
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-6; 8]\):
Критическая точка \( x = 0 \) попадает в отрезок \([-6; 8]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8
\]
\[
y(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10
\]
\[
y(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
Наименьшее значение: \( y(8) = 6 \)
Ответ:
Наименьшее значение: \( 6 \)
Ответ: 6
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=-x^{2}+7|x|-12\) на отрезке \([-4;3]\)
Решение №7286: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = -x^2 + 7|x| - 12 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( x \):
\[
y = \begin{cases}
-x^2 - 7x - 12 & \text{если } x \leq 0 \\
-x^2 + 7x - 12 & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]
-
Найти производные для каждого случая:
\[
y' = \begin{cases}
-2x - 7 & \text{если } x \leq 0 \\
-2x + 7 & \text{если } x > 0
\end{cases}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для каждого случая:
\[
\text{Для } x \leq 0: \quad -2x - 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{2}
\]
\[
\text{Для } x > 0: \quad -2x + 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-4; 3]\):
\[
x = -\frac{7}{2} \approx -3.5 \quad \text{(попадает в отрезок)}
\]
\[
x = \frac{7}{2} \approx 3.5 \quad \text{(не попадает в отрезок)}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-4) = -(-4)^2 - 7(-4) - 12 = -16 + 28 - 12 = 0
\]
\[
y(-3.5) = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 12 = -12.25 + 24.5 - 12 = 0.25
\]
\[
y(3) = -(3)^2 + 7(3) - 12 = -9 + 21 - 12 = 0
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке:
\[
\text{Значения: } y(-4) = 0, \quad y(-3.5) = 0.25, \quad y(3) = 0
\]
Наименьшее значение: \( y(-4) = 0 \)
Ответ:
Наименьшее значение: \( 0 \)
Ответ: -12
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2x-1}}\) на отрезке \([\frac{3}{4};2]\)
Решение №7291: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{2x-1}} \) на отрезке \([\frac{3}{4}; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{\frac{1}{3}}
\]
\[
y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)
\]
Найдем производную внутренней функции:
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) = \frac{(2x)(2x-1) - x^2(2)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(2x-1) - 2x^2}{(2x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}
\]
\[
y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}
\]
Упростим выражение:
\[
y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2x-1)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} = 0
\]
Это уравнение будет равно нулю, если:
\[
2x(x-1) = 0
\]
Решим это уравнение:
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\):
Критическая точка \( x = 0 \) не попадает в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\), а точка \( x = 1 \) попадает.
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{3}{2} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 2}{1}} = \sqrt[3]{\frac{9}{8}}
\]
\[
y(1) = \sqrt[3]{\frac{1^2}{2 \cdot 1 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 1
\]
\[
y(2) = \sqrt[3]{\frac{2^2}{2 \cdot 2 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{4}{3}}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[
y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{9}{8}}
\]
\[
y(1) = 1
\]
\[
y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}}
\]
Сравним значения:
\[
\sqrt[3]{\frac{9}{8}} \approx 1.067
\]
\[
\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115
\]
Наибольшее значение: \( y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \)
Ответ: \underset{[\frac{3}{4};2]}{max} y(x)=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}; \underset{[\frac{3}{4};2]}{min} y(x)=1
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=sinx+cos2x\) на отрезке \([0;\pi ]\)
Решение №7296: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sin x + \cos 2x \) на отрезке \([0; \pi]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos 2x) = \cos x - 2 \sin 2x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
\cos x - 2 \sin 2x = 0
\]
-
Используем тождество \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
\[
\cos x - 2 \cdot 2 \sin x \cos x = 0
\]
\[
\cos x - 4 \sin x \cos x = 0
\]
\[
\cos x (1 - 4 \sin x) = 0
\]
-
Решить уравнение \( \cos x (1 - 4 \sin x) = 0 \):
\[
\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 4 \sin x = 0
\]
-
Решим каждое из уравнений:
\[
\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}
\]
\[
1 - 4 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4} \implies x = \arcsin \frac{1}{4}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \pi]\):
\[
x = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = \arcsin \frac{1}{4}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = \sin 0 + \cos 2 \cdot 0 = 0 + 1 = 1
\]
\[
y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} + \cos 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0
\]
\[
y(\pi) = \sin \pi + \cos 2 \pi = 0 + 1 = 1
\]
\[
y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \sin \left(\arcsin \frac{1}{4}\right) + \cos 2 \left(\arcsin \frac{1}{4}\right)
\]
\[
= \frac{1}{4} + \cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right)
\]
-
Используем тождество \( \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \):
\[
\cos \left(2 \arcsin \frac{1}{4}\right) = 1 - 2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
\]
\[
y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{2}{8} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[
y(0) = 1, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y(\pi) = 1, \quad y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8}
\]
Наибольшее значение: \( y\left(\arcsin \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( \frac{9}{8} \)
Ответ: 1.125
Найти наибольшее функции на отрезке\(y=-x^{2}+3|x-2|+2\) на отрезке \([-2;2]\)
Решение №7301: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = -x^2 + 3|x-2| + 2 \) на отрезке \([-2; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Разделить функцию на два случая в зависимости от значения \( x \):
\[
y = \begin{cases}
-x^2 + 3(x-2) + 2 & \text{если } x \geq 2 \\
-x^2 + 3(2-x) + 2 & \text{если } x < 2
\end{cases}
\]
-
Рассмотрим случай \( x < 2 \):
\[
y = -x^2 + 3(2-x) + 2 = -x^2 + 6 - 3x + 2 = -x^2 - 3x + 8
\]
-
Найти производную функции \( y \) для \( x < 2 \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 3x + 8) = -2x - 3
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-2x - 3 = 0 \implies -2x = 3 \implies x = -\frac{3}{2}
\]
-
Проверить, попадает ли критическая точка в отрезок \([-2; 2]\):
\[
x = -\frac{3}{2} \text{ попадает в отрезок } [-2; 2]
\]
-
Вычислить значение функции \( y \) в критической точке:
\[
y\left(-\frac{3}{2}\right) = -\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 8 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 8 = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + \frac{32}{4} = \frac{41}{4}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[
y(-2) = -(-2)^2 - 3(-2) + 8 = -4 + 6 + 8 = 10
\]
\[
y(2) = -(2)^2 - 3(2) + 8 = -4 - 6 + 8 = -2
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[
y(-2) = 10, \quad y\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{41}{4}, \quad y(2) = -2
\]
Наибольшее значение: \( y(-2) = 10 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 10 \)
Ответ: 7.25
Найти наименьшее значение функции на отрезке\(y=-x^{2}+4|x+1|-6\) на отрезке \([-2;1]\)
Решение №7302: Для нахождения наименьшего значения функции \( y = -x^2 + 4|x+1| - 6 \) на отрезке \([-2; 1]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Рассмотреть функцию \( y = -x^2 + 4|x+1| - 6 \) на двух интервалах: \([-2; -1]\) и \([-1; 1]\), так как модуль \( |x+1| \) изменяет своё значение в точке \( x = -1 \).
-
На интервале \([-2; -1]\):
\[
|x+1| = -(x+1)
\]
Таким образом, функция примет вид:
\[
y = -x^2 + 4(-(x+1)) - 6 = -x^2 - 4(x+1) - 6 = -x^2 - 4x - 4 - 6 = -x^2 - 4x - 10
\]
-
Найти производную функции \( y \) на интервале \([-2; -1]\):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 - 4x - 10) = -2x - 4
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-2x - 4 = 0 \implies -2x = 4 \implies x = -2
\]
-
Вычислить значение функции в критической точке \( x = -2 \) и на концах отрезка \([-2; -1]\):
\[
y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) - 10 = -4 + 8 - 10 = -6
\]
\[
y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) - 10 = -1 + 4 - 10 = -7
\]
-
На интервале \([-1; 1]\):
\[
|x+1| = x+1
\]
Таким образом, функция примет вид:
\[
y = -x^2 + 4(x+1) - 6 = -x^2 + 4x + 4 - 6 = -x^2 + 4x - 2
\]
-
Найти производную функции \( y \) на интервале \([-1; 1]\):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x - 2) = -2x + 4
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-2x + 4 = 0 \implies -2x = -4 \implies x = 2
\]
-
Критическая точка \( x = 2 \) не попадает в отрезок \([-1; 1]\).
-
Вычислить значение функции на концах отрезка \([-1; 1]\):
\[
y(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) - 2 = -1 - 4 - 2 = -7
\]
\[
y(1) = -(1)^2 + 4(1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наименьшее значение функции на отрезке \([-2; 1]\):
\[
y(-2) = -6, \quad y(-1) = -7, \quad y(1) = 1
\]
-
Наименьшее значение функции на отрезке \([-2; 1]\) достигается в точке \( x = -1 \):
\[
y(-1) = -7
\]
Ответ:
Наименьшее значение: \( -7 \)
Ответ: -7
Найти наибольшее значение функций\(y=|\sqrt{6x-x^{2}-5}-3|+\sqrt{6x-x^{2}-5} +x^{3}-6x^{2}\)
Решение №7306: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \). Она зависит от выражения под корнем \( \sqrt{6x - x^2 - 5} \).
\[
6x - x^2 - 5 \geq 0
\]
-
Решим неравенство:
\[
-x^2 + 6x - 5 \geq 0
\]
-
Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 - 6x + 5 \leq 0
\]
-
Решим квадратное уравнение \( x^2 - 6x + 5 = 0 \):
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
\]
-
Получаем два корня:
\[
x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5
\]
\[
x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1
\]
-
Область допустимых значений:
\[
1 \leq x \leq 5
\]
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2
\]
-
Рассмотрим два случая для \( |\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3| \):
-
Случай 1: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 \geq 0 \)
\[
y = \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2
\]
-
Случай 2: \( \sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 < 0 \)
\[
y = -(\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3) + \sqrt{6x - x^2 - 5} + x^3 - 6x^2 = 3 + x^3 - 6x^2
\]
-
Найдем производную для первого случая:
\[
y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{6x - x^2 - 5} - 3 + x^3 - 6x^2)
\]
\[
y' = 2 \cdot \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = \frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x
\]
-
Найдем производную для второго случая:
\[
y' = \frac{d}{dx}(3 + x^3 - 6x^2)
\]
\[
y' = 3x^2 - 12x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнения \( y' = 0 \) для обоих случаев.
-
Для первого случая:
\[
\frac{6 - 2x}{\sqrt{6x - x^2 - 5}} + 3x^2 - 12x = 0
\]
-
Для второго случая:
\[
3x^2 - 12x = 0
\]
\[
3x(x - 4) = 0
\]
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ \( 1 \leq x \leq 5 \):
Точка \( x = 0 \) не попадает в ОДЗ, а точка \( x = 4 \) попадает.
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(1) = |\sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 1 - 1^2 - 5} + 1^3 - 6 \cdot 1^2 = |0 - 3| + 0 + 1 - 6 = 3 + 0 + 1 - 6 = -2
\]
\[
y(4) = |\sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 4 - 4^2 - 5} + 4^3 - 6 \cdot 4^2 = |0 - 3| + 0 + 64 - 96 = 3 + 0 + 64 - 96 = -29
\]
\[
y(5) = |\sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} - 3| + \sqrt{6 \cdot 5 - 5^2 - 5} + 5^3 - 6 \cdot 5^2 = |0 - 3| + 0 + 125 - 150 = 3 + 0 + 125 - 150 = -22
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[
\text{Наибольшее значение: } y(1) = -2
\]
Ответ:
Наибольшее значение: \( -2 \)
Ответ: -2
Найти наибольшее значение функций\(y=|6-\sqrt{20-5x^{2}}|+x^{2}-4x^{3}+\sqrt{20-5x^{2}}\)
Решение №7307: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Определить область допустимых значений (ОДЗ) для функции. Функция определена, если выражение под корнем неотрицательно:
\[
20 - 5x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 4 \implies -2 \leq x \leq 2
\]
-
Упростить функцию, учитывая область допустимых значений:
\[
y = |6 - \sqrt{20 - 5x^2}| + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2}
\]
-
Рассмотрим два случая для модуля:
-
Случай 1: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} \geq 0 \):
\[
y = 6 - \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = 6 + x^2 - 4x^3
\]
-
Случай 2: \( 6 - \sqrt{20 - 5x^2} < 0 \):
\[
y = -(6 - \sqrt{20 - 5x^2}) + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + \sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3 + \sqrt{20 - 5x^2} = -6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3
\]
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(6 + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2
\]
\[
y' = \frac{d}{dx}(-6 + 2\sqrt{20 - 5x^2} + x^2 - 4x^3) = 2x - 12x^2 + \frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2})
\]
\[
\frac{d}{dx}(2\sqrt{20 - 5x^2}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{20 - 5x^2}} \cdot (-10x) = -\frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}}
\]
\[
y' = 2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
2x - 12x^2 - \frac{10x}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0
\]
\[
x(2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}}) = 0
\]
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0
\]
-
Решить уравнение \( 2 - 12x - \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}} = 0 \):
\[
2 - 12x = \frac{10}{\sqrt{20 - 5x^2}}
\]
\[
\sqrt{20 - 5x^2}(2 - 12x) = 10
\]
\[
2\sqrt{20 - 5x^2} - 12x\sqrt{20 - 5x^2} = 10
\]
\[
\sqrt{20 - 5x^2} = \frac{10}{2 - 12x}
\]
\[
20 - 5x^2 = \left(\frac{10}{2 - 12x}\right)^2
\]
\[
20 - 5x^2 = \frac{100}{(2 - 12x)^2}
\]
\[
(20 - 5x^2)(2 - 12x)^2 = 100
\]
\[
400 - 200x^2 = 100
\]
\[
300 = 200x^2
\]
\[
x^2 = \frac{3}{2}
\]
\[
x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([-2; 2]\):
\[
x = 0, \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
Все критические точки попадают в отрезок \([-2; 2]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 5(-2)^2}| + (-2)^2 - 4(-2)^3 + \sqrt{20 - 5(-2)^2}
\]
\[
y(-2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 + 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 + 32 = 42
\]
\[
y(2) = |6 - \sqrt{20 - 5(2)^2}| + (2)^2 - 4(2)^3 + \sqrt{20 - 5(2)^2}
\]
\[
y(2) = |6 - \sqrt{20 - 20}| + 4 - 32 + \sqrt{20 - 20} = 6 + 4 - 32 = -22
\]
\[
y(0) = |6 - \sqrt{20 - 5(0)^2}| + (0)^2 - 4(0)^3 + \sqrt{20 - 5(0)^2}
\]
\[
y(0) = |6 - \sqrt{20}| + 0 + \sqrt{20} = 6 + \sqrt{20}
\]
\[
y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(\sqrt{\frac{3}{2}})^2}
\]
\[
y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}}
\]
\[
y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{\frac{25}{2}}| + \frac{3}{2} - 4(\frac{3\sqrt{2}}{4}) + \sqrt{\frac{25}{2}}
\]
\[
y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}}
\]
\[
y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2}| + (-\sqrt{\frac{3}{2}})^2 - 4(-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 + \sqrt{20 - 5(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2}
\]
\[
y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = |6 - \sqrt{20 - \frac{15}{2}}| + \frac{3}{2} + 4(\frac{3}{2})^{3/2} + \sqrt{20 - \frac{15}{2}}
\]
\[
y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке:
\[
y(-2) = 42
\]
\[
y(2) = -22
\]
\[
y(0) = 6 + \sqrt{20}
\]
\[
y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}}
\]
\[
y(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = 6 + \frac{3}{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{\frac{25}{2}}
\]
-
Наибольшее значение: \( y(-2) = 42 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 42 \)
Ответ: 42
Найти наибольшее значение функции \(y=(2x-1)^{3}(1-0,4x)\)
Решение №7310: Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x) \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y = (2x - 1)^3 (1 - 0.4x)
\]
Для удобства, обозначим \( u = (2x - 1)^3 \) и \( v = 1 - 0.4x \). Тогда \( y = u \cdot v \). Используем правило произведения для нахождения производной:
\[
y' = u'v + uv'
\]
Найдем производные \( u \) и \( v \):
\[
u = (2x - 1)^3 \implies u' = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2
\]
\[
v = 1 - 0.4x \implies v' = -0.4
\]
Теперь подставим \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу производной произведения:
\[
y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) + (2x - 1)^3 (-0.4)
\]
Упростим выражение:
\[
y' = 6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
6(2x - 1)^2 (1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1)^3 = 0
\]
Вынесем общий множитель \( (2x - 1)^2 \):
\[
(2x - 1)^2 \left[ 6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) \right] = 0
\]
Уравнение \( (2x - 1)^2 = 0 \) дает \( x = \frac{1}{2} \).
Теперь решим второе уравнение:
\[
6(1 - 0.4x) - 0.4(2x - 1) = 0
\]
Упростим:
\[
6 - 2.4x - 0.8x + 0.4 = 0 \implies 6.4 - 3.2x = 0 \implies x = 2
\]
Таким образом, критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 2 \).
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[
y\left(\frac{1}{2}\right) = (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot \frac{1}{2}) = 0
\]
\[
y(2) = (2 \cdot 2 - 1)^3 (1 - 0.4 \cdot 2) = 3^3 \cdot (1 - 0.8) = 27 \cdot 0.2 = 5.4
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции:
Наибольшее значение: \( y(2) = 5.4 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 5.4 \)
Ответ: 5.4
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\frac{2}{x-1}+\frac{x}{2}\) на отрезке \(\left [ 0;\frac{1}{1000} \right ]\)
Решение №13253: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{2}{x-1} + \frac{x}{2} \) на отрезке \([0; \frac{1}{1000}]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1} + \frac{x}{2}\right)
\]
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-1}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)
\]
\[
y' = -\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2}
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-\frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{2} = 0
\]
\[
-\frac{2}{(x-1)^2} = -\frac{1}{2}
\]
\[
\frac{2}{(x-1)^2} = \frac{1}{2}
\]
\[
(x-1)^2 = 4
\]
\[
x-1 = \pm 2
\]
\[
x = 3 \quad \text{или} \quad x = -1
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\):
Критические точки \( x = 3 \) и \( x = -1 \) не попадают в отрезок \([0; \frac{1}{1000}]\).
-
Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[
y(0) = \frac{2}{0-1} + \frac{0}{2} = -2
\]
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000}-1} + \frac{\frac{1}{1000}}{2}
\]
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{\frac{1}{1000} - \frac{1000}{1000}} + \frac{1}{2000}
\]
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = \frac{2}{-\frac{999}{1000}} + \frac{1}{2000}
\]
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2 \cdot 1000}{999} + \frac{1}{2000}
\]
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{2000}{999} + \frac{1}{2000}
\]
\[
y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.002 + 0.0005 = -2.0015
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(0) = -2 \)
Наименьшее значение: \( y\left(\frac{1}{1000}\right) \approx -2.0015 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( -2 \)
Наименьшее значение: \( -2.0015 \)
Ответ: \underset{[0;\frac{5}{2}]}{max} y(x)=\frac{31}{12}; \underset{[0;\frac{5}{2}]}{min} y(x)=-2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=4x^{4}-2x^{2}-5\) на отрезке \([0;2]\)
Решение №13254: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 4x^4 - 2x^2 - 5 \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(4x^4 - 2x^2 - 5) = 16x^3 - 4x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
16x^3 - 4x = 0
\]
-
Вынести общий множитель:
\[
4x(4x^2 - 1) = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
4x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 - 1 = 0
\]
-
Решить \( 4x = 0 \):
\[
x_1 = 0
\]
-
Решить \( 4x^2 - 1 = 0 \):
\[
4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_3 = -\frac{1}{2}
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[
x_1 = 0 \quad \text{попадает}
\]
\[
x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{попадает}
\]
\[
x_3 = -\frac{1}{2} \quad \text{не попадает}
\]
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = 4(0)^4 - 2(0)^2 - 5 = -5
\]
\[
y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 4 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = -\frac{1}{4} - 5 = -5.25
\]
\[
y(2) = 4(2)^4 - 2(2)^2 - 5 = 4 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 5 = 64 - 8 - 5 = 51
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[
\text{Наибольшее значение: } y(2) = 51
\]
\[
\text{Наименьшее значение: } y\left(\frac{1}{2}\right) = -5.25
\]
Ответ:
Наибольшее значение: \( 51 \)
Наименьшее значение: \( -5.25 \)
Ответ: \underset{[0;2]}{max} y(x)=51; \underset{[0;2]}{min} y(x)=-5,25
Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-2x^{3}-9x^{2}+12\) на отрезке \([0;3]\)
Решение №13255: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 9x^2 + 12 \) на отрезке \([0; 3]\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 9x^2 + 12) = -6x^2 - 18x
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
-6x^2 - 18x = 0
\]
-
Вынести общий множитель:
\[
-6x(x + 3) = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3
\]
-
Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 3]\):
Критическая точка \( x = -3 \) не попадает в отрезок \([0; 3]\), а точка \( x = 0 \) попадает.
-
Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[
y(0) = -2(0)^3 - 9(0)^2 + 12 = 12
\]
\[
y(3) = -2(3)^3 - 9(3)^2 + 12 = -2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 12 = -54 - 81 + 12 = -123
\]
\[
y(-3) \quad \text{(не попадает в отрезок)}
\]
-
Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(0) = 12 \)
Наименьшее значение: \( y(3) = -123 \)
Ответ:
Наибольшее значение: \( 12 \)
Наименьшее значение: \( -123 \)
Ответ: \underset{[0;3]}{max} y(x)=9; \underset{[0;3]}{min} y(x)=0