№7291

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее функции на отрезке\(y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{2x-1}}\) на отрезке \([\frac{3}{4};2]\)

Ответ

\underset{[\frac{3}{4};2]}{max} y(x)=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}; \underset{[\frac{3}{4};2]}{min} y(x)=1

Решение № 7291:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = \sqrt[3]{\frac{x^2}{2x-1}} \) на отрезке \([\frac{3}{4}; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{\frac{1}{3}} \] \[ y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right) = \frac{(2x)(2x-1) - x^2(2)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(2x-1) - 2x^2}{(2x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2} \] \[ y' = \frac{1}{3} \left( \frac{x^2}{2x-1} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2x-1)^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{2x(x-1)}{(2x-1)^2} = \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{2x(x-1)}{3x^{\frac{4}{3}}(2x-1)^{\frac{4}{3}}} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если: \[ 2x(x-1) = 0 \] Решим это уравнение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\): </li> Критическая точка \( x = 0 \) не попадает в отрезок \([\frac{3}{4}; 2]\), а точка \( x = 1 \) попадает. <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{3}{2} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 2}{1}} = \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{\frac{1^2}{2 \cdot 1 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1}} = 1 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{\frac{2^2}{2 \cdot 2 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее значение функции на отрезке: </li> \[ y\left(\frac{3}{4}\right) = \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \] \[ y(1) = 1 \] \[ y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \] Сравним значения: \[ \sqrt[3]{\frac{9}{8}} \approx 1.067 \] \[ \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \] Наибольшее значение: \( y(2) = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \approx 1.115 \) </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( \sqrt[3]{\frac{4}{3}} \)