№13256

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=4x^{4}-2x^{2}-5\) на отрезке \([0;2]\)

Ответ

\underset{[0;2]}{max} y(x)=51; \underset{[0;2]}{min} y(x)=-5,25

Решение № 13254:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 4x^4 - 2x^2 - 5 \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^4 - 2x^2 - 5) = 16x^3 - 4x \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 16x^3 - 4x = 0 \] <li> Вынести общий множитель: </li> \[ 4x(4x^2 - 1) = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 - 1 = 0 \] <li> Решить \( 4x = 0 \): </li> \[ x_1 = 0 \] <li> Решить \( 4x^2 - 1 = 0 \): </li> \[ 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_3 = -\frac{1}{2} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\): </li> \[ x_1 = 0 \quad \text{попадает} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{попадает} \] \[ x_3 = -\frac{1}{2} \quad \text{не попадает} \] <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: </li> \[ y(0) = 4(0)^4 - 2(0)^2 - 5 = -5 \] \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 4 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = -\frac{1}{4} - 5 = -5.25 \] \[ y(2) = 4(2)^4 - 2(2)^2 - 5 = 4 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 5 = 64 - 8 - 5 = 51 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = 51 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y\left(\frac{1}{2}\right) = -5.25 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 51 \) <br> Наименьшее значение: \( -5.25 \)